Χαριτωμένο μέγιστο

KARKAR · #1

: Χαριτωμένο μέγιστο.png (15.84 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές

Σημείο

κινείται στην διάμετρο AB=2r

ενός ημικυκλίου . Θεωρούμε σημείο

του τόξου ,

τέτοιο ώστε : $\widehat{PSB}=60^0$ . Βρείτε το μέγιστο του γινομένου : $SP \cdot PB$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 18, 2025 5:44 pm
Χαριτωμένο μέγιστο.pngΣημείο κινείται στην διάμετρο ενός ημικυκλίου . Θεωρούμε σημείο του τόξου ,

τέτοιο ώστε : $\widehat{PSB}=60^0$ . Βρείτε το μέγιστο του γινομένου : $SP \cdot PB$

Έστω

η προβολή του

στη διάμετρο. Θέτω BD=x, DS=y,

οπότε $SP=2y, PB=\sqrt{2rx}.$

: Χαριτωμένο μέγιστο.png (18.3 KiB) Προβλήθηκε 279 φορές

Είναι ακόμα, $\displaystyle PD = \sqrt {BD \cdot DA} \Leftrightarrow y\sqrt 3 = \sqrt {x(2r - x)} \Leftrightarrow y = \frac{{\sqrt {3x(2r - x)} }}{3}$

$\displaystyle SP \cdot PB = 2y\sqrt {2rx} \Leftrightarrow SP \cdot PB = \frac{{2x}}{3}\sqrt {12{r^2} - 6rx} ,$ όπου με παραγώγους βρίσκω

$\boxed{ {(SP \cdot PB)_{\max }} = {\left( {\frac{{4r}}{3}} \right)^2}}$ όταν $\boxed{x=\dfrac{4r}{3}}$

#3

Καλησπέρα σε όλους. Προσπάθησα να δώσω απάντηση δίχως βοηθητική και δίχως παραγώγους.
Όπως είπα και σε μήνυμα στον αγαπητό και πάντα πρόθυμο Γιώργο Βισβίκη, η προσέγγισή του ήταν καλύτερη, απλά ήθελα να πειραματιστώ με κάτι διαφορετικό από την παλιά Άλγεβρα, που έχει πια για πάντα χαθεί από τη σχολική μας ύλη.

: Χαριτωμένο μέγιστο.png (15.84 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές

Έστω

, οπότε $\displaystyle P\left( {\sigma \upsilon \nu \theta ,\;\eta \mu \theta } \right),B\left( {1,0} \right)$ , όπου $\displaystyle \theta = \widehat {BOT}$ με $\displaystyle \theta \in \left[ {0,\pi } \right]$ .

Έστω $\displaystyle S\left( {a,0} \right)$ , οπότε $\displaystyle {\lambda _{SP}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{{\eta \mu \theta }}{{\sigma \upsilon \nu \theta - a}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \theta - a = \frac{{\sqrt 3 \eta \mu \theta }}{3}$

Το γινομένο $SP\cdotPB$ έχει μέγιστο όταν έχει και το $\displaystyle S{P^2} \cdot P{B^2} = \left[ {{{\left( {\sigma \upsilon \nu \theta - a} \right)}^2} + \eta {\mu ^2}\theta } \right] \cdot \left[ {{{\left( {\sigma \upsilon \nu \theta - 1} \right)}^2} + \eta {\mu ^2}\theta } \right]$

$\displaystyle = S{P^2} \cdot P{B^2} = \frac{4}{3}\eta {\mu ^2}\theta \cdot \left[ {{{\left( {\sigma \upsilon \nu \theta - 1} \right)}^2} + \eta {\mu ^2}\theta } \right] =$

$\displaystyle = \frac{8}{3}\eta {\mu ^2}\theta \left( {1 - \sigma \upsilon \nu \theta } \right) = \frac{8}{3}{\left( {1 - \sigma \upsilon \nu \theta } \right)^2}\left( {1 + \sigma \upsilon \nu \theta } \right)$

Επειδή οι όροι $\displaystyle 1 - \sigma \upsilon \nu \theta ,\;\;1 + \sigma \upsilon \nu \theta$ έχουν σταθερό άθροισμα, το γινόμενό τους θα γίνει μέγιστο,

αν υπάρχει τόξο $\displaystyle \theta$ που να ικανοποιεί τη σχέση: $\displaystyle \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu \theta }}{2} = \frac{{1 + \sigma \upsilon \nu \theta }}{1} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \theta = - \frac{1}{3}$ .(*)

Πράγματι, τότε $\displaystyle SP\cdotP{B_{\max }} = \sqrt {\frac{8}{3} \cdot {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} \cdot \frac{2}{3}} = \frac{16}{9}$ .

Για τυχαία ακτίνα, είναι $\displaystyle SP\cdotP{B_{\max }} = \frac{{16r^2}}{9}$ .

(*) Η ιδιότητα αυτή περιγράφεται σε όλα τα βιβλία Άλγεβρας (που είχαν μεθόδους εύρεσης min-max) της παλιάς εποχής (Κανέλλου, Πάλλα, Παπανικολάου, Τόγκα κ.α.)

Χαριτωμένο μέγιστο

Χαριτωμένο μέγιστο

Re: Χαριτωμένο μέγιστο

Re: Χαριτωμένο μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση