Η διπλάσια και η μισή

KARKAR · #1

: Η διπλάσια και η μισή.png (10.09 KiB) Προβλήθηκε 889 φορές

Βρείτε την τεταγμένη του σημείου

, για την οποία προκύπτει : $\widehat{ASB}=2\widehat{ABS}$ .

Nikitas K. · #2

Από Σαν Πυθαγόρειο έχουμε:

$AS^2 + AS \cdot SB = AB^2\Leftrightarrow s^2 + 1 + \sqrt{s^2+1}\cdot\sqrt{s^2+121} = 100\Leftrightarrow \sqrt{s^4+122s^2 + 121} = 99-s^2$

$\Rightarrow s^4+122s^2+121 = 99^2 - 2\cdot 99 s^2 + s^4 \Leftrightarrow 2(61+ 99)s^2 = 99^2-11^2\Leftrightarrow 2 \cdot 160 s^2 = (99-11)(99+11)$

$\Leftrightarrow 2\cdot 160 s^2 = 88\cdot 110\Leftrightarrow 16s^2 = 44\cdot 11\Leftrightarrow 4s^2 = 11^2\Leftrightarrow s^2 = \left(\dfrac{11}{2}\right)^2\Leftrightarrow |s|=\dfrac{11}{2}$

Άρα
$s = \dfrac{11}{2}$ επειδή το

ανήκει στο εύρος $\left(0,\sqrt{99}\right)$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 13, 2025 5:01 am
Η διπλάσια και η μισή.pngΒρείτε την τεταγμένη του σημείου , για την οποία προκύπτει : $\widehat{ASB}=2\widehat{ABS}$ .

Έστω λυμένο το πρόβλημα .

Φέρνω τη διχοτόμο

του $\vartriangle SAB$ και τον κύκλο , $\left( {S,A,B} \right)$ που έχει κέντρο το

και με κάθετη διάμετρο στην

, την

.

Επειδή η απόσταση

απ αυτή είναι , $SE = OM = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MB = MA = 5$ θεωρώ $EM = SO = 11k\,\,\,\left( 1 \right)\,\,,\,k > 0$ .

: Η διπλάσια και η μισή_ok.png (27.68 KiB) Προβλήθηκε 813 φορές

Το τετράπλευρο SANB

είναι υπέρ ισοσκελές τραπέζιο με , $SA = AN = NB = a = \sqrt {O{S^2} + O{A^2}} = \sqrt {121{k^2} + 1} \,\,\,\left( 2 \right)$ και

$\displaystyle b = SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = 11\sqrt {{k^2} + 1} \,\,\,\,\left( 3 \right)$ προφανώς δε οι καθεμιά από τις ίσες διαγώνιους του είναι από d = 10

.

Από το Θ. του Πτολεμαίου στο τραπέζιο αυτό έχω : $ab + {a^2} = {d^2} \Rightarrow \sqrt {121{k^2} + 1} \left( {11\sqrt {{k^2} + 1} } \right) + 121{k^2} + 1 = 100$ που έχει δύο πραγματικές ρίζες :

$k = - \dfrac{1}{2}$ απορρίπτεται , είτε $\boxed{k = \frac{1}{2}}$ δεκτή κι έτσι $\boxed{OS = \frac{{11}}{2}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 13, 2025 5:01 am
Η διπλάσια και η μισή.pngΒρείτε την τεταγμένη του σημείου , για την οποία προκύπτει : $\widehat{ASB}=2\widehat{ABS}$ .

Στο σχήμα του Θανάση. Από τα τρίγωνα OBS, OAS

έχω $\displaystyle \tan \theta = \frac{s}{{11}},\tan 3\theta = s.$

Από τον τύπο τώρα, $\displaystyle \tan 3\theta = \frac{{3\tan \theta - {{\tan }^3}\theta }}{{1 - 3{{\tan }^2}\theta }}$ με αντικατάσταση βρίσκω $\boxed{s=\frac{11}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 13, 2025 5:01 am
Η διπλάσια και η μισή.pngΒρείτε την τεταγμένη του σημείου , για την οποία προκύπτει : $\widehat{ASB}=2\widehat{ABS}$ .

Επί της

θεωρούμε σημείο

ώστε

Τότε $\angle N= \angle SAN= \theta$ κι αν $MA \bot AN$ θα είναι $AS=SN=SM=x=\sqrt{s^2+1}$

Από τα όμοια τρίγωνα $OBS,MAN\Rightarrow \dfrac{x+y}{2x}= \dfrac{11}{10} \Rightarrow y= \dfrac{6x}{5} \Rightarrow NB= \dfrac{16x}{5}$

$NA^2=NS.NB\Rightarrow 100= \dfrac{16x^2}{5}= \dfrac{16(s^2+1)}{5} \Rightarrow s= \dfrac{11}{2}$

: Η διπλάσια και η μισή.png (24.89 KiB) Προβλήθηκε 782 φορές

Η διπλάσια και η μισή

Η διπλάσια και η μισή

Re: Η διπλάσια και η μισή

Re: Η διπλάσια και η μισή

Re: Η διπλάσια και η μισή

Re: Η διπλάσια και η μισή

Μέλη σε σύνδεση