Περίεργος λόγος

KARKAR · #1

: Περίεργος λόγος.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 1389 φορές

Στην πλευρά

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC

, κινείται σημείο

. Η κάθετη

προς την

στο

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Υπολογίστε το : $(\dfrac{CS}{ST} )_{max}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 07, 2025 7:11 pm
Περίεργος λόγος.pngΣτην πλευρά του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου , κινείται σημείο . Η κάθετη

προς την στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το : $(\dfrac{CS}{ST} )_{max}$ .

Γράφω το μεταβλητό κύκλο $\left( {B,T,C} \right)$ , κέντρου

και την εφαπτομένη του στο

που τέμνει την

στο

.

Πάντα η $\widehat {TBO} = \widehat {OTB} = \widehat {BCT} = 45^\circ \,\,$ και το άθροισμα μιας κίτρινης και μιας κόκκινης γωνίας είναι σταθερά , $45^\circ$ .

Θέτω : $SC = x\,\,,\,\,SA = y\,\,,\,\,TA = z\,\,$ μεταβλητά . ενώ $AB = h\,\,$ (σταθερό και ίσο με x + y

) ενώ αν $SP = d \Rightarrow x = d\sqrt 2$ .

: Περίεργος λόγος.png (27.77 KiB) Προβλήθηκε 1359 φορές

Η τετράδα , $\left( {T,S\backslash H,J} \right)$ είναι πάντα αρμονική . Θέλω τον λόγο , $\boxed{k = \frac{x}{{z + y}}\,\,\left( 1 \right)}$ να είναι ο μέγιστος δυνατός .

Αυτό συμβαίνει εφ όσον το

είναι μέσο του

δηλαδή και η τετράδα , $\left( {T,S\backslash A,C} \right)$ να είναι αρμονική .

Τότε κάθε κίτρινη γωνία είναι, $22,5^\circ$ , οπότε εύκολα υπολογίζονται τα , x,y,z

και τελικά :

$\boxed{k = {{\left( {\frac{x}{{y + z}}} \right)}_{\max }} = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}$

Παρατήρηση .

Εχω μια μικρή επιφύλαξη ως προς την τεκμηρίωση του μεγίστου του λόγου . Το αποτέλεμα όμως είναι σωστό .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 07, 2025 7:11 pm
Περίεργος λόγος.pngΣτην πλευρά του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου , κινείται σημείο . Η κάθετη

προς την στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το : $(\dfrac{CS}{ST} )_{max}$ .

Με Αναλυτική: Με αρχή των αξόνων το

είναι $C(-a,0), \, S(-s,0), \, B(0,a)$ όπου $0\le s \le a$ (το

είναι μεταβλητό). Η κλίση της

είναι $\dfrac {a}{s}$ . Άρα η κάθετή της ευθεία

έχει εξίσωση $y-a=-\dfrac {s}{a}x$ οπότε το

είναι (θέτω y=0

) το σημείο $T \left (\dfrac {a^2}{s}, \, 0\right )$ . Οπότε

$\displaystyle{\dfrac{CS}{ST} = \dfrac{a-s}{s+ \dfrac {a^2}{s}} = \dfrac {as-s^2}{s^2+a^2}}$

Για το μέγιστο, παραγωγίζουμε. Η παράγωγος είναι $\dfrac {a^3-2as-as^2}{(s^2+a^2)^2}$ που μηδενίζεται όταν $s=(\pm \sqrt 2-1)a$ (κρατάμε το

). Εύκολα βλέπουμε ότι δίνει μέγιστο, η τιμή του οποίου είναι $\boxed {\dfrac {1}{2}(\sqrt 2 -1)}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 07, 2025 7:11 pm
Περίεργος λόγος.pngΣτην πλευρά του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου , κινείται σημείο . Η κάθετη

προς την στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το : $(\dfrac{CS}{ST} )_{max}$ .

Με Ευκλείδεια. Θέτω AB=AC=a, AS=x.

: Περίεργος λόγος.png (12.51 KiB) Προβλήθηκε 1307 φορές

$\displaystyle {a^2} = xAT \Leftrightarrow AT = \frac{{{a^2}}}{x} \Rightarrow ST = \frac{{{a^2} + {x^2}}}{x}$ και $\boxed{\frac{{CS}}{{ST}} = \frac{{ax - {x^2}}}{{{a^2} + {x^2}}}}$

Τα υπόλοιπα όπως ο Μιχάλης.

KARKAR · #5

: Περίεργος λόγος συμπλ..png (8.74 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές

Ας ονομάσουμε

το συμμετρικό του

ως προς

. Υπολογίστε την ποσότητα : $\dfrac{CS'\cdot CT}{CS'+ CT}$

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 08, 2025 7:08 pm
Περίεργος λόγος συμπλ..pngΑς ονομάσουμε το συμμετρικό του ως προς . Υπολογίστε την ποσότητα : $\dfrac{CS'\cdot CT}{CS'+ CT}$

Από το ποστ #3 όλα τα εμφανιζόμενα μεγέθη είναι γνωστά. 'Ετσι

$\dfrac{CS'\cdot CT}{CS'+ CT} = \dfrac{(a+s) \left (a+ \dfrac {a^2}{s} \right )}{(a+s)+\left (a+ \dfrac {a^2}{s} \right ) } = \dfrac{(a+s) (as+ a^2)} {(a+s)s+ (as+a^2) } = a$

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 08, 2025 7:08 pm
Περίεργος λόγος συμπλ..pngΑς ονομάσουμε το συμμετρικό του ως προς . Υπολογίστε την ποσότητα : $\dfrac{CS'\cdot CT}{CS'+ CT}$

Είναι , $CS' = h + y\,\,,\,\,CT = h + z$ . Θα δείξω /ότι ο λόγος που θέλω , $w = \dfrac{{CS' \cdot CT}}{{CS' + CT}}$ ισούται με την σταθερή ποσότητα

.

Επειδή , $B{A^2} = AT \cdot AS \Leftrightarrow {h^2} = zy\,\,\,\left( 1 \right)$ η προηγουμένη ισοδύναμα γράφεται :

: Περίεργος λόγος_extra.png (21.79 KiB) Προβλήθηκε 1251 φορές

$\dfrac{{\left( {h + y} \right)\left( {h + z} \right)}}{{\left( {h + y} \right) + \left( {h + z} \right)}} = h \Leftrightarrow {h^2} + h\left( {y + z} \right) + yz = \left( {2h + y + z} \right)h$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ έχω ισοδύναμα : $2{h^2} + h\left( {y + z} \right) = \left( {2h + y + z} \right)h$ ( αληθής).

Περίεργος λόγος

Περίεργος λόγος

Re: Περίεργος λόγος

Re: Περίεργος λόγος

Re: Περίεργος λόγος

Re: Περίεργος λόγος

Re: Περίεργος λόγος

Re: Περίεργος λόγος

Μέλη σε σύνδεση