Από σταθερό σημείο 34

KARKAR · #1

: Από σταθερό σημείο 34.png (7.19 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές

Στην "άνω" ημιευθεία με εξίσωση : $y=-\dfrac{4}{3}x$ , κινείται σημείο

, ώστε :

. Στον ημιάξονα

,

θεωρούμε σημείο

, ώστε : $OB=\dfrac{2a}{2+a}$ . Δείξτε ότι η ημιευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 24, 2025 8:10 am
Από σταθερό σημείο 34.pngΣτην "άνω" ημιευθεία με εξίσωση : $y=-\dfrac{4}{3}x$ , κινείται σημείο , ώστε : . Στον ημιάξονα ,

θεωρούμε σημείο , ώστε : $OB=\dfrac{2a}{2+a}$ . Δείξτε ότι η ημιευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .

Εύκολα βρίσκω $\displaystyle A\left( { - \frac{{3a}}{5},\frac{{4a}}{5}} \right),B\left( {\frac{{2a}}{{2 + a}}},0 \right).$ Η ευθεία

έχει εξίσωση:

: Από σταθερό σημείο 34.png (8.87 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές

$\displaystyle y = - \frac{{4(2 + a)}}{{3a + 16}}x + \frac{{8a}}{{3a + 16}} \Leftrightarrow 8(x + 2y) + a(4x + 3y - 8) = 0.$

Η

διέρχεται από το σημείο S(x_0,y_0)

που είναι λύση του συστήματος $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} x + 2y = 0 \hfill \\ 4x + 3y - 8 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$ $\boxed{S\left( {\frac{{16}}{5}, - \frac{8}{5}} \right)}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 24, 2025 8:10 am
Από σταθερό σημείο 34.pngΣτην "άνω" ημιευθεία με εξίσωση : $y=-\dfrac{4}{3}x$ , κινείται σημείο , ώστε : . Στον ημιάξονα ,

θεωρούμε σημείο , ώστε : $OB=\dfrac{2a}{2+a}$ . Δείξτε ότι η ημιευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .

Έστω $A\left( {k, - \dfrac{{4k}}{3}} \right)\,,\,\,k < 0$ άρα $\boxed{OA = a = \sqrt {{k^2} + \dfrac{{16{k^2}}}{9}} = \dfrac{{5|k|}}{3} = \dfrac{{ - 5k}}{3} > 0}$ $\left( 1 \right)$ οπότε

$\dfrac{{2a}}{{a + 2}} = \dfrac{{10k}}{{5k - 6}} > 0$ , δηλαδή $B\left( {\dfrac{{10k}}{{5k - 6}},0} \right)$ και έτσι η εξίσωση της ευθείας

δίδεται από τη σχέση :
.

: Απο σταθερό 34.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

.
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&1 \\ k&{\dfrac{{ - 4k}}{3}}&1 \\ {\dfrac{{10k}}{{5k - 6}}}&0&1 \end{array}} \right| = 0$ που γράφεται : $k\left( {5k\left( {4x + 3y - 8} \right) - 24\left( {x + 2y} \right)} \right) = 0$ που για να ισχύει για κάθε k < 0

αρκεί ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} 4x + 3y = 8 \hfill \\ x + 2y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{{16}}{5} \hfill \\ y = - \dfrac{8}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

S.E.Louridas · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 24, 2025 8:10 am
Από σταθερό σημείο 34.pngΣτην "άνω" ημιευθεία με εξίσωση : $y=-\dfrac{4}{3}x$ , κινείται σημείο , ώστε : . Στον ημιάξονα ,
θεωρούμε σημείο , ώστε : $OB=\dfrac{2a}{2+a}$ . Δείξτε ότι η ημιευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .

Γεια και χαρά στους φίλους Νίκο και Γιώργο.

Εύκολα από ομοιότητα αντίστοιχων τριγώνων έχουμε: $\displaystyle{\frac{{\left( {a + 2} \right)x}}{{2a}} + \frac{{y}}{a} = 1\;\,\left( 1 \right).}$

Για a=2

και μετά για a=-2

προκύπτει

Αν τώρα στην (1)

τοποθετήσω x=2, y=-2,

αυτή επαληθεύεται

για τυχόντα πλέον $a \ne 0.$

Επομένως το σημείο

είναι σταθερό αφού το παραλληλόγραμμο OZME

με $\overline {OE} = - 2,\;\,\overline {OZ} = 2,$ είναι σταθερό,

με τις «παύλες» να δηλώνουν τις αλγεβρικές τιμές των αντίστοιχων διανυσμάτων, οπότε τελικά το σημείο

βρίσκεται στο κάτω ημιεπίπεδο.

: dol.png (26.68 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές

Από σταθερό σημείο 34

Από σταθερό σημείο 34

Re: Από σταθερό σημείο 34

Re: Από σταθερό σημείο 34

Re: Από σταθερό σημείο 34

Μέλη σε σύνδεση