Ελάχιστο με φαεινή ιδέα

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^4+16}{x^3-4x} , x>2$ . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης .

Λύση χωρίς χρήση παραγώγου

, βαθμολογείται με τα διπλάσια μόρια

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

$f(x)=...=\dfrac{x^2-4}{x}+\dfrac{8x}{x^2-4}$ (1)
Με Cauchy-Schwarz
$f(x)\ge2\cdot \sqrt{8}=4\sqrt{2}$

Η ελαχίστη τιμή είναι η $4\sqrt{2}$ και λαμβάνεται όταν οι δύο όροι του αθροίσματος στην (1) γίνουν ίσοι, ήτοι για $x=\sqrt{2}+\sqrt{6}$ $\blacksquare$

Al.Koutsouridis · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 01, 2024 9:44 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^4+16}{x^3-4x} , x>2$ . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης .

Λύση χωρίς χρήση παραγώγου , βαθμολογείται με τα διπλάσια μόρια

Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με x^2

και έχουμε

$f(x)=\dfrac{x^4+16}{x^3-4x} = \dfrac{x^2+\dfrac{16}{x^2}}{x-\dfrac{4}{x}}$

θέτουμε $t=x-\dfrac{4}{x}$ , τότε $t^2= x^2+\dfrac{16}{x^2} -8$ και η παράσταση γίνεται

$f(t)=\dfrac{t^2+8}{t}$

Έστω

η τιμή που μπορεί να πάρει αυτή η παράσταση, τότε η εξίσωση

$\dfrac{t^2+8}{t} =y \Leftrightarrow t^2-yt+8=0$ ως προς

θα πρέπει να έχει λύσεις. Δηλαδή η διακρίνουσά της να είναι μη αρνητική. Άρα $D=y^2-32 \geq 0 \Rightarrow y \geq 4\sqrt{2}$ . Που επιτυγχάνεται για $t=2\sqrt{2}$ .

Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή στην $t=x-\dfrac{4}{x}$ , βρίσκουμε ότι $x=\sqrt{2}+\sqrt{6} >2$ , που είναι στο πεδίο ορισμού της f(x)

.

#4

Καλημέρα σε όλους. Μια παρόμοια απάντηση με τον Ιάσωνα, δίχως ανισότητα C-S. Γράφω τις πράξεις αναλυτικά.

Για $\displaystyle x>2$ είναι $\displaystyle \frac{{{x^4} + 16}}{{{x^3} - 4x}} = \frac{{{x^4} - 8{x^2} + 16}}{{x\left( {{x^2} - 4} \right)}} + \frac{{8{x^2}}}{{x\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4}}{x} + \frac{{8x}}{{{x^2} - 4}}$ .

Επειδή το γινόμενο τους είναι σταθερό, το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο όταν είναι ίσοι, (αν μπορεί να γίνουν ίσοι).

Είναι $\displaystyle \frac{{{x^2} - 4}}{x} = \frac{{8x}}{{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} = 8{x^2} \Leftrightarrow {x^4} - 16{x^2} + 16 = 0$ , που δίνει δεκτή λύση $\displaystyle {x^2} = 8 + 4\sqrt 3$

άρα $\displaystyle x = \sqrt {8 + 4\sqrt 3 } = \sqrt {{{\sqrt 2 }^2} + {{\sqrt 6 }^2} + 2\sqrt {6 \cdot 2} } = \sqrt 2 + \sqrt 6$

Το ελάχιστο είναι ίσο με
$\displaystyle \begin{gathered} f\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right) = \frac{{4 + 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} + \frac{{8\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)}}{{4 + 2\sqrt {12} }} = \hfill \\ = \frac{{\left( {4 + 2\sqrt {12} } \right)\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{4} + \frac{{4\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt {12} - 2} \right)}}{8} \hfill \\ = 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 4\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 01, 2024 9:44 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^4+16}{x^3-4x} , x>2$ . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης .

Λύση χωρίς χρήση παραγώγου , βαθμολογείται με τα διπλάσια μόρια

Καλησπέρα από Γρεβενά...

Ωραίες οι λύσεις που προηγήθηκαν...

Εγώ θα παρουσιάσω και τη λύση με παραγώγους..., κι ας βαθμολογηθεί με τα μισά μόρια...!

Σημειώνω ότι κατά τη λύση χρησιμοποίησα εξ ολοκλήρου ... λογισμικά (Maple, geogebra)

Γιατί όχι;

Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι:

$\displaystyle{f'(x)=\frac{x^6-12x^4-48x^2+64}{(x^3-4x)^2} \ \ (1) }$

ή ακόμα:

$\displaystyle{f'(x)=\frac{(x^2+4)(x^4-16x^2+16)}{(x^3-4x)^2} \ \ (2) }$

Η εξίσωση $\displaystyle{ f'(x)=0}$ στο διάστημα $\displaystyle{(2, +\propto)}$ έχει μοναδική ρίζα την $\displaystyle{x_o=\sqrt{6}+\sqrt{2} }$

Έτσι έχουμε τον πίνακα μεταβολής της συνάρτησης αυτής:

: Ακρότατα 1.png (6.74 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

Ο πίνακας αυτός προέκυψε εύκολα από τη μελέτη του προσήμου της

διετράγωνης συνάρτησης του αριθμητή της (2), όπως αυτό φαίνεται και από

κατωτέρω σχήμα:

: Ακρότατα 2.png (33.73 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

Έτσι εύκολα συμπεραίνεται ότι το ζητούμενο ελάχιστο είναι:

$\displaystyle{f_{min}=f(\sqrt{6}+\sqrt{2})=4\sqrt{2} }$

Αυτό φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα:

: Ακρότατα 3.png (18.66 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

Κώστας Δόρτσιος

S.E.Louridas · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 01, 2024 9:44 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^4+16}{x^3-4x} , x>2$ . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης .

Και μόνο χάριν πολυφωνίας...

Ας επιχειρήσουμε και εμείς να πάρουμε βαθμό προαγωγής με μία «αιρετική» άποψη:

Αρκεί να υπολογίσουμε το μέγιστο του θετικού

αν $\displaystyle{\frac{{{x^3} - 4x}}{{{x^4} + 16}} = t \Leftrightarrow t{x^4} - {x^3} + 4x + 16t = 0.}$ Εδώ επειδή λείπει ο δευτεροβάθμιος όρος και ${4^2} =16,$ διαιρούμε με το x^2

και παίρνουμε $\displaystyle{t\left( {{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right) - \left( {x - \frac{4}{x}} \right) = 0$ ή $t{y^2} - y + 8t = 0,}$ αν $\displaystyle{y = x - \frac{4}{x},}$ οπότε για να έχει λύση ως προς

η διακρίνουσα εδώ πρέπει και αρκεί να είναι θετική ή μηδέν. Άρα παίρνουμε $\displaystyle{{t_{\max }} = \frac{1}{{4\sqrt 2 }},}$ και έτσι το ζητούμενο ελάχιστο είναι το $4\sqrt 2 .$
Εύκολα έχουμε ότι η ισότητα λαμβάνεται όταν $x = \sqrt 2 + \sqrt 6 .$

KARKAR · #7

Η λύση του θεματοδότη ( μίξη των παραπάνω ): Διαιρώντας δια x^2

, καταλήγουμε στην :

$f(x)=x-\dfrac{4}{x}+\dfrac{8}{x-\frac{4}{x}}\geq 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$ , για : $(x-\dfrac{4}{x})^2=8$

με δεκτή λύση την : $x=2\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{2}+\sqrt{6}$ . Έγραψα την λύση κυρίως

για την συσχέτιση με την ανάρτηση αυτή .

Ελάχιστο με φαεινή ιδέα

Ελάχιστο με φαεινή ιδέα

Re: Ελάχιστο με φαεινή ιδέα

Re: Ελάχιστο με φαεινή ιδέα

Re: Ελάχιστο με φαεινή ιδέα

Re: Ελάχιστο με φαεινή ιδέα

Re: Ελάχιστο με φαεινή ιδέα

Re: Ελάχιστο με φαεινή ιδέα

Μέλη σε σύνδεση