Κεντρικός τόπος

KARKAR · #1

: Κεντρικός τόπος.png (24.49 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

Το σημείο

είναι σταθερό , ενώ το

κινείται στην ευθεία y=-2

. Η

τέμνει

τον y'y

στο σημείο

, ενώ η κάθετη της

στο

, τέμνει τον y'y

στο

και την

στο

. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου

του κύκλου : ( A , B , C )

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2024 10:25 am
Κεντρικός τόπος.pngΤο σημείο είναι σταθερό , ενώ το κινείται στην ευθεία . Η τέμνει

τον στο σημείο , ενώ η κάθετη της στο , τέμνει τον στο και την

στο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του κύκλου : .

Έστω $A\left( 0,a \right),B\left( 0,b \right),C\left( c,-2 \right),S\left( s,-2 \right)$ και ας είναι

το μέσο της

, οπότε $M\left( 0,\dfrac{a+b}{2} \right)$ και έστω το κέντρο του περιγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\vartriangle ABC$ είναι $K\left( x,y \right)$
Προφανώς το

είναι το ορθόκεντρο του εν λόγω τριγώνου και είναι γνωστό ότι ισχύει: $\overrightarrow{CS}=2\cdot \overrightarrow{KM}\Leftrightarrow \left( s-c,0 \right)=2\left( -x,\dfrac{a+b}{2}-y \right)\Leftrightarrow$ $s-c=-2x:\left( 1 \right)\,\,\And \,\,a+b=2y:\left( 2 \right)$
Με $\overrightarrow{BT}\bot \overrightarrow{ST}\Leftrightarrow \overrightarrow{BT}\cdot \overrightarrow{ST}=0\Leftrightarrow \left( 4,-b \right)\cdot \left( 4,-a \right)=0\Leftrightarrow ab=-16:\left( 3 \right)$
Από την συνευθειακότητα $B,S,T\Leftrightarrow \overrightarrow{BT}\parallel \overrightarrow{ST}\Leftrightarrow \det \left( \overrightarrow{BT},\overrightarrow{ST} \right)=0\overset{\overrightarrow{BT}=\left( 4,-b \right),\overrightarrow{ST}=\left( 4-s,2 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,$ $\left| \begin{matrix} 4 & -b \\ 4-s & 2 \\ \end{matrix} \right|=0\Leftrightarrow \ldots s=\dfrac{8+4b}{b}:\left( 4 \right)$
Επίσης από την συνευθειακότητα $A,T,C\Leftrightarrow \overrightarrow{AT}\parallel \overrightarrow{TC}\Leftrightarrow \det \left( \overrightarrow{AT},\overrightarrow{TC} \right)=0\overset{\overrightarrow{AT}=\left( 4,-a \right),\overrightarrow{ST}=\left( c-4,-2 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,$ $\left| \begin{matrix} 4 & -a \\ c-4 & -2 \\ \end{matrix} \right|=0\Leftrightarrow \ldots c=\dfrac{8+4a}{a}:\left( 5 \right)$
Από $\left( 4 \right),\left( 5 \right)\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{8+4b}{b}-\dfrac{8+4a}{a}=-2x\overset{ab=-16\,\,(\sigma \chi \varepsilon \sigma \eta \,\,\left( 3 \right))}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\ldots a-b=4x:\left( 6 \right)$
Από το σύστημα των σχέσεων $\left( 2 \right),\left( 6 \right)$ (με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη) προκύπτει ότι: a=y+2x

και

και με αντικατάστασή τους στη σχέση $\left( 3 \right)$ προκύπτει ότι … $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1$ που είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος (υπερβολή)

Κεντρικός τόπος

Κεντρικός τόπος

Re: Κεντρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση