Ο έγκυκλος του ισοσκελούς

KARKAR · #1

: Ο έγκυκλος του ισοσκελούς.png (12.47 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC

, με

συμβολίζουμε τα ίσα σκέλη και με

την ακτίνα του εγκύκλου του .

α) Σχεδιάστε το τρίγωνο έτσι , ώστε : $\dfrac{r}{b}=\dfrac{3}{10}$ .... β) Βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή αυτού του λόγου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 28, 2024 7:04 pm
Ο έγκυκλος του ισοσκελούς.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , με συμβολίζουμε τα ίσα σκέλη και με την ακτίνα του εγκύκλου του .

α) Σχεδιάστε το τρίγωνο έτσι , ώστε : $\dfrac{r}{b}=\dfrac{3}{10}$ .... β) Βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή αυτού του λόγου .

Έστω

Παίρνω με δύο τρόπους (Ήρωνα και με χρήση του

) το εμβαδόν του τριγώνου.

$\displaystyle (ABC) = \frac{{k{b^2}}}{4}\sqrt {4 - {k^2}} = \frac{{(k + 2)br}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{r}{b} = \frac{k}{2}\sqrt {\frac{{2 - k}}{{2 + k}}} }$ (1)

: Έγκυκλος του ισοσκελούς.png (10.03 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές

α) $\displaystyle \frac{k}{2}\sqrt {\frac{{2 - k}}{{2 + k}}} = \frac{3}{{10}} \Leftrightarrow 25{k^3} - 50{k^2} + 9k + 18 = 0,$ όπου με Horner βρίσκω

$\boxed{ \frac{a}{b} =k= \frac{6}{5}}$ και στη συνέχεια $\boxed{ \frac{a}{b} =k= \frac{{2 + \sqrt {19} }}{5}}$

β) $\displaystyle \frac{r}{b} = f(k) = \frac{k}{2}\sqrt {\frac{{2 - k}}{{2 + k}}},$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων παίρνω $\boxed{ {\left( {\frac{r}{b}} \right)_{\max }} = \sqrt {\frac{{5\sqrt 5 - 11}}{2}} }$

όταν $\boxed{ \frac{a}{b} = \sqrt 5 - 1}$

Ο έγκυκλος του ισοσκελούς

Ο έγκυκλος του ισοσκελούς

Re: Ο έγκυκλος του ισοσκελούς

Μέλη σε σύνδεση