Υποτείνουσα παράλληλη προς διάμετρο

KARKAR · #1

: Υποτείνουσα παράλληλη προς διάμετρο.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου

, βρίσκεται σημείο

, με :

.

Σχεδιάστε χορδή $PT \parallel AB$ , έτσι ώστε : $PS \perp ST$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 02, 2023 1:31 pm
Υποτείνουσα παράλληλη προς διάμετρο.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , βρίσκεται σημείο , με : .

Σχεδιάστε χορδή $PT \parallel AB$ , έτσι ώστε : $PS \perp ST$ .

: Υποτείνουσα παράλληλη σε διάμετρο.png (11.19 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

$y = 2\sqrt 3$

Έγινε άρση απόκρυψης

∫ot.T. · #3

Ίσως αυτή η απάντηση είναι αρκετά τραβηγμένη από την προσδοκούσα.

Θεωρώ το κέντρο του ημικύκλιου ως την αρχή των αξόνων και τον φορέα του AB ως τον άξονα x.
Οι συντεταγμένες των σημείων γίνονται $S(1,0), P(p_{1},p_{2}), T(t_{1},t_{2})$

Από την παραλληλία της χορδής προς την περίμετρο προκύπτει ότι:
$p_{1}=-t_{1}$ (1)
$p_{2}=t_{2}$ (2)

Από τα δεδομένα έχουμε:
$\overrightarrow{PS}\cdot \overrightarrow{PT}=0$

$p_{1}t_{1}-p_{1}-t_{1}+1+p_{2}t_{2}=0$

Από τις (1) και (2) έχουμε:
$p_{1}^{2}-p_{2}^{2}=1$ (3)

Αφού όμως το P είναι σημείο κύκλου με ακτίνα 5 τότε
$p_{1}^{2}+p_{2}^{2}=25$ (4)

Λύνοντας το σύστημα (3), (4) βρίσκουμε την θέση του P και κατά συνέπεια του T.
$P(-\sqrt{13}, \sqrt{12})$
$T\left ( \sqrt{13},\sqrt{12} \right )$

*Θεωρήθηκε ότι τα P, T είναι στον θετικό ημιάξονα y.

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 02, 2023 1:31 pm
Υποτείνουσα παράλληλη προς διάμετρο.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , βρίσκεται σημείο , με : .

Σχεδιάστε χορδή $PT \parallel AB$ , έτσι ώστε : $PS \perp ST$ .

Το τετράπλευρο APTB

είναι ισοσκελές τραπέζιο αφού PT//AB

,

$, OL\perp PT,\upsilon =TN=PM$ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο $OLS,(5-x)^{2}=1+\upsilon ^{2},(1),$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο

$ATB,TB^{2}=10x,TB^{2}=x^{2}+\upsilon ^{2},(2), (1),(2)\Rightarrow x^{2}-10x+12=0,x=5+\sqrt{13},5-\sqrt{13},\upsilon =2\sqrt{3}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 02, 2023 1:31 pm
Υποτείνουσα παράλληλη προς διάμετρο.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , βρίσκεται σημείο , με : .

Σχεδιάστε χορδή $PT \parallel AB$ , έτσι ώστε : $PS \perp ST$ .

Ας είναι $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ οι προβολές των $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ στη διάμετρο .

Θέτω $DB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT = y$ , προφανώς θα είναι : $AE = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EP = y$ .

Τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle ESP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DTS$ είναι όμοια έτσι ταυτόχρονα έχω:

: Υποτείνουσα παράλληλη σε διάμετρο_ok.png (11.72 KiB) Προβλήθηκε 796 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{SE}}{{TD}} = \frac{{PE}}{{DS}} \hfill \\ T{D^2} = DA \cdot DB \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{6 - x}}{y} = \frac{y}{{4 - x}} \hfill \\ {y^2} = x\left( {10 - x} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {y^2} = \left( {x - 6} \right)\left( {x - 4} \right) \hfill \\ {y^2} = x\left( {10 - x} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x = 5 - \sqrt {13} \,\,,\,y = 2\sqrt 3$

Υποτείνουσα παράλληλη προς διάμετρο

Υποτείνουσα παράλληλη προς διάμετρο

Re: Υποτείνουσα παράλληλη προς διάμετρο

Re: Υποτείνουσα παράλληλη προς διάμετρο

Re: Υποτείνουσα παράλληλη προς διάμετρο

Re: Υποτείνουσα παράλληλη προς διάμετρο

Μέλη σε σύνδεση