Ελαχιστοποίηση διαδρομής

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση διαδρομής.png (6.42 KiB) Προβλήθηκε 835 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι :

, το

κινείται στην πλευρά

και το

είναι η προβολή του

στην

.

Βρείτε το μήκος του τμήματος

, την στιγμή που ελαχιστοποιείται η διαδρομή : BS+ST

.

Al.Koutsouridis · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 28, 2022 8:46 pm
Ελαχιστοποίηση διαδρομής.pngΣτο τρίγωνο , είναι : , το κινείται στην πλευρά

και το είναι η προβολή του στην .

Βρείτε το μήκος του τμήματος , την στιγμή που ελαχιστοποιείται η διαδρομή : .

Έστω $\epsilon$ η ευθεία συμμετρική της

ως προς την ευθεία

. Ας είναι

η προβολή του

στην $\epsilon$ . Τότε θα έχουμε:

$BS+ST=BS+SP \geq BP \geq BH$ όπου

η προβολή του σημείου

στην ευθεία $\epsilon$ . 'Αρα το σημείο

που ελαχιστοποιεί το δοθέν άθροισμα είναι η τομή του τμήματος

με την πλευρά

.

Έστω

το μέσο της

. Φέρουμε από το

παράλληλη ευθεία ως προς την

και ας είναι K,L

τα σημεία τομής αυτής με το τμήμα

και την ευθεία $\epsilon$ αντίσχτοιχα.

Τότε θα είναι $\angle AKM= \angle CKL = 90^-\angle KCL = 90^0-\angle ACM=\angle KAM$ . 'Αρα το τρίγωνο AMK

είναι ισοσκελές με MA=MK

. Όμως

οπότε για το σημείο

που ελαχιστοποιεί την παραπάνω απόσταση θα είναι $BS=2 \cdot MK = 2 \cdot AM =6$ .

: elaxistopoihsh_diadromhs.png (209.31 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 28, 2022 8:46 pm
Ελαχιστοποίηση διαδρομής.pngΣτο τρίγωνο , είναι : , το κινείται στην πλευρά

και το είναι η προβολή του στην .

Βρείτε το μήκος του τμήματος , την στιγμή που ελαχιστοποιείται η διαδρομή : .

Από το γνωστό πρόβλημα του μπιλιάρδου ελάχιστη διαδρομής έχουμε αν από το συμμετρικό,

του

ως προς την ευθεία

φέρω κάθετη στην

.

Τότε το σημείο

είναι το ορθόκεντρο του ισοσκελούς $\vartriangle CPB$ . Ας πούμε :

$M\,\,,\,\,E$ τα μέσα των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PB$ και $T\,\,,\,\,D$ τις προβολές του

στις $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP$ .

Προφανώς τα $\vartriangle AMB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle AMC$ είναι ορθογώνια με πλευρές $3,\,\,4,\,\,5\,$ , ενώ το καθένα είναι όμοιο με το $\vartriangle ESP$ .

: Ελαχιστοποίηση Διαδρομής_Ανάλυση κατασκευή.png (21.39 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Έτσι το $\vartriangle ESP$ θα έχει : $PS = 5k\,,\,SE = 3k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EP = 4k$ με k > 0

.

Το τετράπλευρο AEBM

είναι εγγράψιμο οπότε:

$CA \cdot CE = CM \cdot CB \Rightarrow 5\left( {5 + AE} \right) = 32 \Rightarrow \boxed{AE = \frac{7}{5}}$ . Από το Π. Θ. στο $\vartriangle EBC$ θα έχω:

$64 = 16{k^2} + {\left( {5 + \dfrac{7}{5}} \right)^2} \Rightarrow \boxed{k = \dfrac{6}{5}}$ και άρα $\boxed{SB = SP = 6}$

Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του

, φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα.

: Ελαχιστοποίηση Διαδρομής_new.png (15.88 KiB) Προβλήθηκε 767 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 28, 2022 8:46 pm
Ελαχιστοποίηση διαδρομής.pngΣτο τρίγωνο , είναι : , το κινείται στην πλευρά

και το είναι η προβολή του στην .

Βρείτε το μήκος του τμήματος , την στιγμή που ελαχιστοποιείται η διαδρομή : .

Με τις συντεταγμένες των σημείων που φαίνονται στο σχήμα, προκύπτει $\displaystyle S\left( {x,3 - \frac{{3x}}{4}} \right).$

: Ελαχιστοποίηση διαδρομής.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

$\displaystyle f(x) = BS + ST = \frac{{ - 3x + \sqrt {25{x^2} + 56x + 400} }}{4} + 3,$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω

$\displaystyle \min (BS + ST) = \frac{{192}}{{25}}$ όταν $\displaystyle x = \frac{{44}}{{25}}.$ Εύκολα τώρα, $\boxed{BS=6}$

Έδωσα περισσότερο τη μέθοδο, γιατί λείπουν πολλές πράξεις

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 28, 2022 8:46 pm
Ελαχιστοποίηση διαδρομής.pngΣτο τρίγωνο , είναι : , το κινείται στην πλευρά

και το είναι η προβολή του στην .

Βρείτε το μήκος του τμήματος , την στιγμή που ελαχιστοποιείται η διαδρομή : .

Μία τριγωνομετρική (με επίσης κομμένες πράξεις

)

$\displaystyle \sin \omega = \frac{{ST}}{{BS}} \Leftrightarrow \frac{{\sin \omega }}{{1 + \sin \omega }} = \frac{{ST}}{{BS + ST}} \Leftrightarrow$ $\boxed{BS + ST = \frac{{1+\sin \omega }}{{ \sin \omega }} \cdot ST}$ (1)

: Ελαχιστοποίηση διαδρομής.β.png (10.08 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \cot C = \frac{{TC}}{{ST}} \hfill \\ \cot \omega = \frac{{BT}}{{ST}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \oplus \frac{4}{3} + \cot \omega = \frac{8}{{ST}} \Leftrightarrow ST = \frac{{24}}{{4 + 3\cot \omega }} = \frac{{24\sin \omega }}{{4\sin \omega + 3\cos \omega }}$

Από την (1)

είναι $\displaystyle BS + ST = \frac{{24(1 + \sin \omega )}}{{4\sin \omega + 3\cos \omega }}$

και για $\sin \omega=x,$ $\displaystyle BS + ST = f(x) = \frac{{24(1 + x)}}{{4x + 3\sqrt {1 - {x^2}} }}$

που ελαχιστοποιείται όταν $\displaystyle \sin \omega = x = \frac{7}{{25}},$ κλπ.

Ελαχιστοποίηση διαδρομής

Ελαχιστοποίηση διαδρομής

Re: Ελαχιστοποίηση διαδρομής

Re: Ελαχιστοποίηση διαδρομής

Re: Ελαχιστοποίηση διαδρομής

Re: Ελαχιστοποίηση διαδρομής

Μέλη σε σύνδεση