Εξωτικός τόπος

KARKAR · #1

: Εξωτικός τόπος.png (7.84 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Προεκτείνουμε τις πλευρές CO , CB

του "ημιτετραγώνου" COB

, κατά τμήματα OD=x , BE=2x

αντίστοιχα (

μεταβλητό ) . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τομής

, των τμημάτων DB , OE

.

#2

Kαλημέρα σε όλους. Ξεκινώ με φορμαλιστική λύση με τα εργαλεία της Αναλυτικής Γεωμετρίας.

: 17-07-2022 Γεωμετρία.png (16.22 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

Έστω $\displaystyle O\left( {0,0} \right),\;B\left( {1,0} \right),C\left( {0,1} \right),D\left( {0,t} \right),\;t < 0$

$\displaystyle BE:\;y = - x + 1$ .

Έστω $\displaystyle E\left( {k,\; - k + 1} \right),\;k > 1$ , οπότε $\displaystyle BE = 2\left| t \right| \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)\sqrt 2 = - 2t \Leftrightarrow k = - \sqrt 2 t + 1$

Οπότε $\displaystyle E\left( { - \sqrt 2 t + 1,\;\sqrt 2 t} \right)$ .

$\displaystyle BD:\;y = - tx + t,\;\;OE:\;y = \frac{{\sqrt 2 t}}{{ - \sqrt 2 t + 1}}x$

Οπότε $\displaystyle S\left( {\frac{{\sqrt 2 t - 1}}{{\sqrt 2 t - 1 - \sqrt 2 }},\frac{{ - \sqrt 2 t}}{{\sqrt 2 t - 1 - \sqrt 2 }}} \right)\;$

Το

κινείται στην ανοιχτή ημιευθεία $\displaystyle y = - \frac{{\sqrt 2 + 2}}{2}x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ με y<0

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 17, 2022 9:45 am
Εξωτικός τόπος.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές του "ημιτετραγώνου" , κατά τμήματα

αντίστοιχα ( μεταβλητό ) . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τομής , των τμημάτων .

Μία ευφάνταστη αντιμετώπιση. (Η αρχική μου λύση είναι ίδια με του Γιώργου).

Έστω

η προβολή του

στην

οπότε $BP=PE=x\sqrt 2.$ Θέτω $\displaystyle OB = OC = a \Rightarrow BC = a\sqrt 2.$

Φέρνω από τα O,B

παράλληλες στις CB, CO

αντίστοιχα και σχηματίζω το παραλληλόγραμμο COAB.

Η

τέμνει την

στο

και οι

τις

στα

αντίστοιχα.

: Εξωτικός τόπος.png (12.8 KiB) Προβλήθηκε 683 φορές

$\displaystyle \frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{AB}}{{OD}} = \frac{a}{x}$ και $\displaystyle \frac{{BF}}{{PE}} = \frac{{OB}}{{OP}} \Leftrightarrow \frac{{BF}}{{x\sqrt 2 }} = \frac{a}{{a + x\sqrt 2 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{BF = \frac{{ax\sqrt 2 }}{{a + x\sqrt 2 }}}$ (1)

$\displaystyle \frac{{BF}}{{FA}} = \frac{{BF}}{{a - BF}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{x\sqrt 2 }}{a}.$ Εφαρμόζω το θεώρημα Ceva στο τρίγωνο AOB:

$\displaystyle \frac{{OT}}{{TB}} \cdot \frac{{BF}}{{FA}} \cdot \frac{{AH}}{{HO}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{OT}}{{TB}} \cdot \frac{{x\sqrt 2 }}{a} \cdot \frac{a}{x} = 1 \Leftrightarrow \frac{{OT}}{{TB}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{OC}}{{CB}}$

Άρα το σημείο

είναι σταθερό (ίχνος της διχοτόμου από την κορυφή

). Εξάλλου και το

είναι σταθερό ως

τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου COAB.

Επομένως το

κινείται στην σταθερή ημιευθεία TA.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 17, 2022 9:45 am
Εξωτικός τόπος.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές του "ημιτετραγώνου" , κατά τμήματα

αντίστοιχα ( μεταβλητό ) . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τομής , των τμημάτων .

Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο CPTB

, οπότε το σημείο

είναι σταθερό .

Θέτω CO = OB = BT = b

(σταθερό ) και ας είναι :

το σημείο τομής των $TS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OB$ .

Ας είναι ακόμα

το σημείο τομής της μεταβλητής

με την σταθερή ευθεία

και

της μεταβλητής

με τη σταθερή ευθεία

.

: Εξωτικός τόπος.png (16.92 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Επειδή στο $\vartriangle TOB$ από το Θ. Ceva

ισχύει : $\dfrac{{OK}}{{KT}} \cdot \dfrac{{TL}}{{LB}} \cdot \dfrac{{BF}}{{FO}} = 1 \Rightarrow \dfrac{x}{b} \cdot \dfrac{{b\sqrt 2 }}{{2x}} \cdot \dfrac{{BF}}{{FO}} = 1 \Rightarrow \boxed{\dfrac{{BF}}{{FO}} = \sqrt 2 }$ .

Δηλαδή το

είναι σταθερό σημείο κι επειδή και το

σταθερό ο γ. τ. που θέλω είναι η σταθερή ημιευθεία

(χωρίς το

).

Παρεμφερής με του Γιώργου.

Εξωτικός τόπος

Εξωτικός τόπος

Re: Εξωτικός τόπος

Re: Εξωτικός τόπος

Re: Εξωτικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση