Σύνολο τιμών αθροίσματος

KARKAR · #1

: Ακρότατα αθροίσματος.png (13.82 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Το σημείο

βρίσκεται στην προέκταση της ακτίνας OA=r

, έτσι ώστε : AS=d

.

Θεωρούμε σημεία P ,T

του κύκλου , τέτοια ώστε : $\widehat{OSP}=\widehat{OST}$ και SP<ST

.

Βρείτε το σύνολο τιμών του αθροίσματος : SP+ST

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 12, 2022 8:17 am
Ακρότατα αθροίσματος.pngΤο σημείο βρίσκεται στην προέκταση της ακτίνας , έτσι ώστε : .

Θεωρούμε σημεία του κύκλου , τέτοια ώστε : $\widehat{OSP}=\widehat{OST}$ και .

Βρείτε το σύνολο τιμών του αθροίσματος : .

.

: Ακρότατα αθροίσματος.png (18.56 KiB) Προβλήθηκε 426 φορές

.
Έστω

το άλλο σημείο τομής της

με τον κύκλο .Θέτω, $SP = x,\,\,QT = y$ .

Ας είναι ακόμη $S{P_0}$ το εφαπτόμενο τμήμα από το

στο κύκλο . Είναι : $S{P_0} = \sqrt {d\left( {d + 2r} \right)} = a$ . (σταθερό).

Επειδή $SA \cdot SB = {a^2} \Rightarrow x(x + y) = {a^2}$ . $ST + SP = 2x + y = \boxed{f(x) = \frac{{{a^2}}}{x} + x}$ .

Η μεταβλητή $x \in \left( {d,a} \right)$ και η

γνήσια φθίνουσα σ αυτό το διάστημα .

συνεχής σ αυτό , έχει σύνολο τιμών , $\left( {2a,2d + 2r} \right)$ . ( αντίστοιχες οριακές τιμές)

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 12, 2022 8:17 am
Ακρότατα αθροίσματος.pngΤο σημείο βρίσκεται στην προέκταση της ακτίνας , έτσι ώστε : .

Θεωρούμε σημεία του κύκλου , τέτοια ώστε : $\widehat{OSP}=\widehat{OST}$ και .

Βρείτε το σύνολο τιμών του αθροίσματος : .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

: Σύνολο τιμών αθροίσματος.png (14.04 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

$\displaystyle f(x) = SP + ST = 2SK + 2KM = 2SM \Leftrightarrow f(x) = 2(r + d)\cos x < 2(r + d)$

H ελάχιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν η

εφάπτεται στον κύκλο και είναι $\displaystyle f(x) = 2SP = 2\sqrt {{d^2} + 2rd} .$

Τότε όμως είναι SP=ST.

Αλλά, δίνεται ότι SP<ST,

οπότε αυτή η τιμή δεν ανήκει στο σύνολο τιμών.

Έτσι, το σύνολο τιμών είναι $\displaystyle \left( {2\sqrt {{d^2} + 2rd} ,2(r + d)} \right)$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 12, 2022 8:17 am
Ακρότατα αθροίσματος.pngΤο σημείο βρίσκεται στην προέκταση της ακτίνας , έτσι ώστε : .

Θεωρούμε σημεία του κύκλου , τέτοια ώστε : $\widehat{OSP}=\widehat{OST}$ και .

Βρείτε το σύνολο τιμών του αθροίσματος : .

Ο κύκλος

τέμνει την

στο

Επειδή

μέσον της

θα είναι

.Αλλά

,άρα

Το

γίνεται ελάχιστο όταν η

είναι εφαπτόμενη του κύκλου και $SQ=2SP=2 \sqrt{d(2r+d)}$

Τότε όμως τα H,P,M

ταυτίζονται και QP=x=PS=y

που αντίκειται στην υπόθεση

Στο τρίγωνο OQS

ισχύει $SQ≤2OS\Rightarrow SQ=x+y≤2(r+d)$ με το ίσον να ισχύει όταν το

ταυτίζεται με το

(τότε

και

)

Άρα το σύνολο τιμών του SP+ST=x+y

είναι $(2 \sqrt{d(2r+d)} ,2(r+d)]$

: σύνολο τιμών αθροίσματος.png (47.43 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

Σύνολο τιμών αθροίσματος

Σύνολο τιμών αθροίσματος

Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος

Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος

Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση