Λόγος τριψήφιου αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του

[Al.Koutsouridis]

Ο λόγος ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του είναι ακέραιος αριθμός.
α) Μπορεί αυτός ο λόγος να ισούται με ;
β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτός ο λόγος, αν το πρώτο ψηφίο του τριψήφιου αριθμού είναι ίσο με ;


Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση, Ρωσία 2021.

[fmak65]

Για το α)
έστω ο τριψήφιος είναι ο αβγ (α = 1 ως 9, β και γ= 0 ως 9)που μπορεί να γραφτεί 100*α+10*β+γ. και ο λόγος

Η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το α είναι 9, άρα το αριστερό μέρος της ισότητας μπορεί να είναι 144.
Όμως το αριστερό μέρος δεν μπορεί να είναι ίσο με 144 για όποια τιμή και αν πάρουν τα β και γ.
Μετά από πρ. μήνυμα του κ. Λάμπρου συμπληρώνω την λύση.
Για α=9 που είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να πάρει τα β & γ μπορούν να είναι 0 ή 1 γιατί αν κάποιο είναι 2 τότε το άθροισμα θα είναι μεγαλύτερο του 144.Αν είναι και τα δύο 1, πάλι το άθροισμα είναι μεγαλύτερο. Οπότε ή είναι 0 και τα δύο ( άτοπο γιατί το 16α με α διάφορο του 0 δεν μπορεί να κάνει 0) ή το 1 0 και το άλλο 1. Πάλι όμως είναι άτοπο γιατί το 16α δεν μπορεί να είναι ίσο , ούτε με το 74, ούτε με το 83 για οποιαδήποτε τιμή του α.

[Mihalis_Lambrou]

Ο λόγος ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του είναι ακέραιος αριθμός.
α) Μπορεί αυτός ο λόγος να ισούται με ;
β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτός ο λόγος, αν το πρώτο ψηφίο του τριψήφιου αριθμού είναι ίσο με ;

Ας δούμε λοιπόν το β).

Απάντηση: .

Πράγματι,



Οπότε το κλάσμα (ως ακέραιος από τα δεδομένα) είναι .

α) Θα δούμε ότι τελικά η ελάχιστη τιμή δεν μπορεί να είναι . Πράγματι, για τον έπρεπε να υπάρχουν με

, άρα . Άρα άρτιος και άρα , άτοπο.

β) Άρα το κάτω φράγμα είναι . Θα δούμε ότι ούτε το μας κάνει. Αλλιώς

, άρα . Άρα άρτιος και άρα , που σημαίνει

. Άρα , δηλαδή . Αλλά τότε η δίνει , ή , που δεν είναι ακέραιος. Άτοπο.

γ) Δοκιμάζουμε τον . Είναι τότε , άρα . Άρα πολλαπλάσιο του οπότε η δίνει , άτοπο.

δ) Πάμε στο . Εδώ είναι καλά τα νέα αφού . Τελειώσαμε.

[Mihalis_Lambrou]

Ο λόγος ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του είναι ακέραιος αριθμός.
α) Μπορεί αυτός ο λόγος να ισούται με ;
β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτός ο λόγος, αν το πρώτο ψηφίο του τριψήφιου αριθμού είναι ίσο με ;


Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση, Ρωσία 2021.

Γράφω πλήρη λύση του α) (η λύση του Φώτη εξετάζει μόνο την περίπτωση ).

Έστω (όπου και, εννοείται, ). Θα βγάλουμε άτοπο. Πράγματι, σε αυτή την περίπτωση είναι , άρα . Δεν μπορεί γιατί τότε άρα . Έτσι και άρα άτοπο αφού . Από την έχουμε τότε ότι (μη μηδενικός) άρτιος αριθμός, άρα

, οπότε , άτοπο. Τελειώσαμε

[Mihalis_Lambrou]

Ο λόγος ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του είναι ακέραιος αριθμός.
α) Μπορεί αυτός ο λόγος να ισούται με ;
β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτός ο λόγος, αν το πρώτο ψηφίο του τριψήφιου αριθμού είναι ίσο με ;

Έκανα λίγο ψάξιμο, με βοηθό κάθε τόσο το κομπιουτεράκι μου, για να δω τι άλλο θα μπορούσε να μπει στην θέση του . Μιλάμε για ακέραιο.

Πρώτα απ΄ όλα η μέγιστη τιμή του είναι αφού , με ισότητα για καθέναν από τους .

Με συλογισμό όπως στο ποστ #3 βλέπουμε ότι ο εν λόγω λόγος δεν μπορεί να είναι ο . Υπάρχουν και άλλα παραδείγματα αλλά αναφέρω προς την θετική κατεύθυνση ότι, αντιθέτως, μπορούμε τον από την ισότητα

. 'Αλλους που μπορούμε είναι

, , , , , , , , και λοιπά.