Συνεφαπτομένες με ... αξία

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα. Εν μέσω ..

..όμβρου εφαπτομένων (από τον αγαπητό KARKAR)
ας βρούμε και δύο "ανάποδες"

: σφ.. με αξία.PNG (9.94 KiB) Προβλήθηκε 1327 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

ενώ ισχύει $\sigma \varphi A= \dfrac{3}{4}$ . Να βρεθούν οι $\sigma \varphi \dfrac{B}{2}$ και $\sigma \varphi \dfrac{A}{4}$ .

Δεκτή κάθε λύση. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 13, 2020 12:51 am
Καλημέρα. Εν μέσω .. ..όμβρου εφαπτομένων (από τον αγαπητό KARKAR)
ας βρούμε και δύο "ανάποδες"
σφ.. με αξία.PNG

Το τρίγωνο έχει ενώ ισχύει $\sigma \varphi A= \dfrac{3}{4}$ . Να βρεθούν οι $\sigma \varphi \dfrac{B}{2}$ και $\sigma \varphi \dfrac{A}{4}$ .

Δεκτή κάθε λύση. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα!

Από $\displaystyle \cot A = \frac{3}{4}$ εύκολα βρίσκω $\displaystyle \cos A = \frac{3}{5}$ και από τους τύπους $\displaystyle \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a,$

παίρνω $\boxed{\sin\frac{A}{2} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}}$ και $\boxed{\cos \frac{A}{2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}}$ Αλλά, $\displaystyle 2u=\widehat B = 90^\circ - \frac{{\widehat A}}{2}$

Έτσι, $\displaystyle {\cot ^2}u = \frac{{1 + \cos 2u}}{{1 - \cos 2u}} = \frac{{1 + \sin \frac{A}{2}}}{{1 - \sin \frac{A}{2}}} = \frac{{1 + \frac{1}{{\sqrt 5 }}}}{{1 - \frac{1}{{\sqrt 5 }}}} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 5 - 1}} = {\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\cot u=\Phi}$

$\displaystyle {\cot ^2}\frac{A}{4} = \frac{{1 + \cos \frac{A}{2}}}{{1 - \cos \frac{A}{2}}} = \frac{{1 + \frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{1 - \frac{2}{{\sqrt 5 }}}} = \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt 5 - 2}} = {(\sqrt 5 + 2)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\cot \frac{A}{4} = \sqrt 5 + 2 = 2\Phi + 1}$

#3

Έστω $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ τα ύψη του $\vartriangle ABC$ και I,H

το έγκεντρο και το ορθόκεντρό του .

Επειδή το $\vartriangle ABD \to \left( {5k,4k,3k} \right)$ θα είναι $DC = 2k\,\,$ και αν BM = MC = y

θα είναι

( ομοιότητα γάρ).

Αν

η διχοτόμος του $\vartriangle AMC$ ζητάμε : $\cot \theta \,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\cot \omega$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle ABM$ έχω : $25{k^2} = {y^2} + 4{y^2} \Rightarrow \boxed{y = k\sqrt 5 \Leftrightarrow 5k = y\sqrt 5 }\,\,\,\left( 1 \right)$

Από τα θεωρήματα διχοτόμων στα : $\vartriangle BMA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle AMC$ έχω:

: Συνεφαπτομένες με αξία_1.png (19.26 KiB) Προβλήθηκε 1270 φορές

$\left\{ \begin{gathered} MI = \frac{{2{y^2}}}{{y + 5k}} \hfill \\ MF = \frac{{2{y^2}}}{{2y + 5k}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ άρα και λόγω της $\left( 1 \right)$ έχω:

$\left\{ \begin{gathered} \cot \theta = \frac{{MB}}{{MI}} = \frac{{y + 5k}}{{2y}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi \hfill \\ \cot \omega = \frac{{AM}}{{MF}} = \frac{{2y + 5k}}{y} = 2 + \sqrt 5 = 2\varphi + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Συνεφαπτομένες με ... αξία

Συνεφαπτομένες με ... αξία

Re: Συνεφαπτομένες με ... αξία

Re: Συνεφαπτομένες με ... αξία

Μέλη σε σύνδεση