Κεντροβαρικός κύκλος

KARKAR · #1

: Κεντροβαρικός κύκλος.png (23.27 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές

Η κορυφή

του εγγεγραμμένου στον κύκλο x^2+y^2=25

, τριγώνου ABC

, είναι ο βόρειος πόλος του

κύκλου , ενώ η μεταβλητή πλευρά του

, διέρχεται από το σημείο S(3,1)

. Δείξτε ότι ο γεωμετρικός

τόπος του βαρυκέντρου

του τριγώνου είναι κύκλος , του οποίου βρείτε το κέντρο και την ακτίνα .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 26, 2026 10:18 am
Κεντροβαρικός κύκλος.pngΗ κορυφή του εγγεγραμμένου στον κύκλο , τριγώνου , είναι ο βόρειος πόλος του

κύκλου , ενώ η μεταβλητή πλευρά του , διέρχεται από το σημείο . Δείξτε ότι ο γεωμετρικός

τόπος του βαρυκέντρου του τριγώνου είναι κύκλος , του οποίου βρείτε το κέντρο και την ακτίνα .

$\displaystyle \bullet$ Αν $\lambda$ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της BC,

τότε η εξίσωσή της είναι $\boxed{y=\lambda x-3\lambda +1}$ Εξάλλου,

$\displaystyle {\lambda _{OM}} = - \frac{1}{\lambda } \Rightarrow OM:y = - \frac{1}{\lambda }x,$ απ' όπου προκύπτουν οι συντεταγμένες του $\displaystyle M\left( {\frac{{3{\lambda ^2} - \lambda }}{{{\lambda ^2} + 1}},\frac{{1 - 3\lambda }}{{{\lambda ^2} + 1}}} \right)$

: Κεντροβαρικός κύκλος.png (19.75 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές

Αν

τότε $\displaystyle \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow (x,y - 5) = 2\left( {\frac{{3{\lambda ^2} - \lambda }}{{{\lambda ^2} + 1}} - x,\frac{{1 - 3\lambda }}{{{\lambda ^2} + 1}} - y} \right),$ απ' όπου παίρνω

$\displaystyle x = \frac{{6{\lambda ^2} - 2\lambda }}{{3({\lambda ^2} + 1)}},y = \frac{{5{\lambda ^2} - 6\lambda + 7}}{{3({\lambda ^2} + 1)}}$ και $\boxed{{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = \frac{{10}}{9}}$ που είναι η εξίσωση του ζητούμενου

γεωμετρικού τόπου (ο κόκκινος κύκλος του σχήματος).

$\displaystyle \bullet$ Αν πάλι η εξίσωση της

είναι

τότε $\displaystyle G\left( {2,\frac{5}{3}} \right),$ που επαληθεύει την παραπάνω εξίσωση του γ. τόπου.

KARKAR · #3

: Κεντροβαρικός κύκλος.png (33.04 KiB) Προβλήθηκε 43 φορές

Ένας άλλος τρόπος εύρεσης του ζητούμενου κύκλου είναι να παρατηρήσουμε ότι είναι ομοιόθετος του κύκλου (Q)

,

ο οποίος είναι ο γεωμετρικός τόπος του μέσου

της χορδής

και επίσης ότι : $2\overrightarrow{QK}=\overrightarrow{KA}$ .

Κεντροβαρικός κύκλος

Κεντροβαρικός κύκλος

Re: Κεντροβαρικός κύκλος

Re: Κεντροβαρικός κύκλος

Μέλη σε σύνδεση