Γεωμετρική συνάρτηση

KARKAR · #1

: Γεωμετρική συνάρτηση.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές

Σε σημείο

του ημιάξονα

, υψώνουμε κάθετη , επί της οποίας κινείται σημείο

. Θεωρούμε

σημείο

του

, τέτοιο ώστε : SP=OA

. Βρείτε συνάρτηση

, της οποίας η γραφική παράσταση

να είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου

. Αν :

, λύστε την εξίσωση : $f(x)=2\sqrt{3}$ .

Σημείωση : Αν θέλετε να αποφύγετε κάποιες πράξεις , πάρτε από την αρχή : .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 05, 2025 9:47 am
Γεωμετρική συνάρτηση.pngΣε σημείο του ημιάξονα , υψώνουμε κάθετη , επί της οποίας κινείται σημείο . Θεωρούμε

σημείο του , τέτοιο ώστε : . Βρείτε συνάρτηση , της οποίας η γραφική παράσταση

να είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου . Αν : , λύστε την εξίσωση : $f(x)=2\sqrt{3}$ .

Σημείωση : Αν θέλετε να αποφύγετε κάποιες πράξεις , πάρτε από την αρχή : .

Για

θέτω

και είναι $y=f(x)\ge 0, 0\le x<4.$

: Γεωμετρική συνάρτηση.K.png (8.47 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

$\displaystyle \frac{x}{4} = \frac{{OS}}{{OS + 4}} \Leftrightarrow OS = \frac{{4x}}{{4 - x}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{{16{x^2}}}{{{{(4 - x)}^2}}} \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{16{x^2} - {x^2}{{(4 - x)}^2}}}{{{{(4 - x)}^2}}}$

και τελικά, $\boxed{f(x) = \frac{{x\sqrt {8x - {x^2}} }}{{4 - x}},0 \le x < 4}$

Υψώνοντας στο τετράγωνο, η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle \frac{{8{x^3} - {x^4}}}{{16 - 8x + {x^2}}} = 12 \Leftrightarrow {x^4} - 8{x^3} + 12{x^2} - 96x + 192 = 0,$ απ' όπου

$\displaystyle {x^2}({x^2} - 8x + 12) - 96(x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)\left( {{x^2}(x - 6) - 96} \right) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x < 4}$ $\boxed{x=2}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 05, 2025 9:47 am
Σε σημείο του ημιάξονα , υψώνουμε κάθετη , επί της οποίας κινείται σημείο . Θεωρούμε

σημείο του , τέτοιο ώστε : . Βρείτε συνάρτηση , της οποίας η γραφική παράσταση

να είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου . Αν : , λύστε την εξίσωση : $f(x)=2\sqrt{3}$ .

Με πολικές, χάριν ποικιλίας: Είναι $R=OS=OP-SP=\dfrac {OA}{\cos \theta}-a\dfrac {a}{\cos \theta}-a$ , δηλαδή $\boxed {r=a\sec \theta - a}$ .

Αν θέλουμε την Καρτεσιανή μορφή της, έχουμε τότε $\sqrt {x^2+y^2} = \dfrac {a\sqrt {x^2+y^2}}{x} -a$ που με αναγωγές γίνεται

$\boxed { a^2x^2=(a-x)^2(x^2+y^2) }$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 05, 2025 9:47 am
Σε σημείο του ημιάξονα , υψώνουμε κάθετη , επί της οποίας κινείται σημείο . Θεωρούμε

σημείο του , τέτοιο ώστε : . Βρείτε συνάρτηση , της οποίας η γραφική παράσταση

να είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου . Αν : , λύστε την εξίσωση : $f(x)=2\sqrt{3}$ .

.

: Γεωμ Συναρ.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

.
Με πολικές, χάριν ποικιλίας: Είναι $r=OS=OP-SP=\dfrac {OA}{\cos \theta}-a=\dfrac {a}{\cos \theta}-a$ , δηλαδή $\boxed {r=a\sec \theta - a}$ .

Αν θέλουμε την Καρτεσιανή μορφή της, έχουμε τότε $\sqrt {x^2+y^2} = \dfrac {a\sqrt {x^2+y^2}}{x} -a$ , που με αναγωγές γίνεται

$\boxed { a^2x^2=(a-x)^2(x^2+y^2) }$

#5

.
Πρόσθετη άσκηση: Πώς ονομάζεται η εν λόγω καμπύλη; Ναι, είναι επώνυμη.

Υπόδειξη: Υπάρχει σε όλες ανεξαιρέτως τις Ιστορίες των Μαθηματικών, και επίσης υπάρχει στα σχολικά βιβλία (μονάχα που πρέπει να την αναγνωρίσεις γιατί με πρόχειρη ματιά μπορεί να μην την δεις).

Γεωμετρική συνάρτηση

Γεωμετρική συνάρτηση

Re: Γεωμετρική συνάρτηση

Re: Γεωμετρική συνάρτηση

Re: Γεωμετρική συνάρτηση

Re: Γεωμετρική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση