Ελεγχόμενη μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Ελεγχόμενη μεγιστοποίηση.png (26.07 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Το σημείο

κινείται στο μεγάλο ημικύκλιο . Οι SC , SB

τέμνουν το μικρό ημικύκλιο στα σημεία P , T

(πλησιέστερα προς το

) . Κατά την στιγμή που μεγιστοποιείται το SC+SB

, εξετάστε αν είναι :

SP=ST

και υπολογίστε το τότε $\cos\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 21, 2025 10:17 am
Ελεγχόμενη μεγιστοποίηση.pngΤο σημείο κινείται στο μεγάλο ημικύκλιο . Οι τέμνουν το μικρό ημικύκλιο στα σημεία

(πλησιέστερα προς το ) . Κατά την στιγμή που μεγιστοποιείται το , εξετάστε αν είναι :

και υπολογίστε το τότε $\cos\theta$ .

.
Μόνο τα κύρια βήματα γιατί η πληκτρολόγιση είναι επίπονη αλλά το θέμα είναι αρκετά προσιτό.

Με αρχή των αξόνων το μέσον του

είναι $A(-6,0),\, C(-4,0),\,D(4,0),\, B(6,0)$ και οι δύο κύκλοι είναι οι $x^2+y^2=16, \, x^2+y^2=36$ .

Aν S(x,y)

στο έξω κύκλο (οπότε x^2+y^2=36

) Θέλουμε τα μεγιστοποιήσουμε το

$\displaystyle{\sqrt {(x+4)^2+y^2} + \sqrt {(x-6)^2+y^2} = \sqrt {(x+4)^2+36-x^2} + \sqrt {(x-6)^2+36-x^2}= \sqrt {52+8x} + \sqrt {72-12x}}$

Έχει παράγωγο $\displaystyle{ \dfrac {4}{\sqrt {52+8x}}-\dfrac {6}{\sqrt {72-12x}}}$ . Μηδενίζεται όταν $x=-\dfrac {3}{2}$ με αντίστοιχο $y=\dfrac {3\sqrt {15}}{2}$ , η δε τιμή του μεγίστου είναι $5\sqrt {10}$ .

Μπορούμε τώρα εύκολα να βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων όπου ο μέσα κύκλος τέμνει την τεθλασμένη CST

(τα

και άλλο ένα, ας το πούμε

). Βγαίνει ότι όχι μόνο SP=ST

αλλά ότι και τα πέντε τμήματα που ο μέσα κύκλος τέμνει την τεθλασμένη CST

είναι ίσα καί έχουν μήκος

$\boxed {SP=ST=CP=TQ=QB=\sqrt {10}}$ .

Το $\cos \theta$ είναι τώρα άμεσο γιατί το τρίγωνο CSB

έχει γνωστές πλευρές, $CS= 2\sqrt {10} ,\, SB= 3\sqrt {10}, \, CB= 10$ . Βγαίνει $\boxed {\cos \theta = \dfrac {1}{4}}$ (ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις).

Ελεγχόμενη μεγιστοποίηση

Ελεγχόμενη μεγιστοποίηση

Re: Ελεγχόμενη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση