Μειωμένης ακτίνας

KARKAR · #1

: Μειωμένης ακτίνας.png (14.04 KiB) Προβλήθηκε 1130 φορές

Ο κύκλος

και τα σημεία P , T

είναι σταθερά , ενώ η διάμετρος

μεταβλητή . Ονομάζουμε

την τομή των ευθειών

και

. Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 21, 2025 6:20 am
Μειωμένης ακτίνας.pngΟ κύκλος και τα σημεία είναι σταθερά , ενώ η διάμετρος μεταβλητή . Ονομάζουμε

την τομή των ευθειών και . Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του .

Τα σημεία

είναι σταθερά , συνεπώς και το αρμονικό συζυγές ,

του ,

ως προς τα $P\,\,,\,\,T$ είναι σταθερό και θα ισχύει:

$\dfrac{{KP}}{{KT}} = \dfrac{{OP}}{{OT}} \Rightarrow \dfrac{x}{{8 - x}} = \dfrac{2}{{10}} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow x = \dfrac{4}{3}\,\,\,\left( 1 \right)$ . Τώρα λόγω της $\left( 1 \right)$ προκύπτουν :

$OK = 2 + \dfrac{4}{3}\,\,\,,\,\,KT = 8 - \dfrac{4}{3} \Rightarrow OK = \dfrac{{10}}{3}\,\,,\,\,KT = \dfrac{{20}}{3}\,\,\,\left( 2 \right)$
.

: Μειωμένης ακτίνας.png (25.61 KiB) Προβλήθηκε 1114 φορές

.
Έτσι θα έχω : $\dfrac{{TK}}{{TO}} = \dfrac{{\dfrac{{20}}{3}}}{{10}} = \dfrac{2}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{PK}}{{PO}} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{2} = \dfrac{2}{3}$ . Επειδή στο $\vartriangle SAB$ η δέσμη , $\left( {SB,SA\backslash SO,SK} \right)$ είναι αρμονική και η

διάμεσός του

Αναγκαστικά KS//AB

και θα είναι , $\dfrac{{KS}}{{OB}} = \dfrac{{KP}}{{PO}} \Rightarrow \dfrac{r}{3} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{2} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \boxed{r = 3}$ , συνεπώς το

ανήκει στο κύκλο $\left( {K,2} \right)$ , ο τόπος που θέλω.

Η άσκηση αντιμετωπίζεται ακόμα με ομοιοθεσία ( και κατ’ επέκταση με αντιστροφή ) προφανώς δε και με Αναλυτική Γεωμετρία .
.
.

: Θεμελιώδες Θεώρημα Αρμονικών τετράδων_1.png (28.1 KiB) Προβλήθηκε 1105 φορές

Το πιο πάνω θεώρημα προφανώς ισχύει κι αντίστροφα (δυο εκφράσεις ) .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 21, 2025 6:20 am
Μειωμένης ακτίνας.pngΟ κύκλος και τα σημεία είναι σταθερά , ενώ η διάμετρος μεταβλητή . Ονομάζουμε

την τομή των ευθειών και . Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του .

Στο τρίγωνο OTB

με διατέμνουσα SPA

ο Μενέλαος δίνει

$\dfrac{OP}{PT} . \dfrac{TS}{SB} . \dfrac{AB}{AO} =1 \Rightarrow \dfrac{2}{8} .\dfrac{TS}{SB}.2=1 \Rightarrow \dfrac{TS}{SB}= 2$

Με $SC//OB \Rightarrow \dfrac{TC}{TO}= \dfrac{TS}{TB}= \dfrac{CS}{OB}= \dfrac{2}{3} \Rightarrow OC= \dfrac{10}{3} \Rightarrow C=( \dfrac{10}{3},0)$

Ακόμη CS=2

,συνεπώς με S=(x,y)

παίρνουμε $(x- \dfrac{10}{3} )^2+y^2= 4$

που είναι η καρτεσιανή εξίσωση του ζητούμενου τόπου

: μειωμένης ακτίνας.png (21.06 KiB) Προβλήθηκε 1100 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 21, 2025 6:20 am
Μειωμένης ακτίνας.pngΟ κύκλος και τα σημεία είναι σταθερά , ενώ η διάμετρος μεταβλητή . Ονομάζουμε

την τομή των ευθειών και . Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του .

Με Αναλυτική Γεωμετρία, όπως επισημαίνει ο Νίκος στο πόστ #

.

Είναι A(a,b)

και άρα

, όπου

. Η

είναι η ευθεία $y=\dfrac {b-0}{a-2} (x-2)$ και η

είναι η $y=\dfrac {b-0}{a+10} (x-10)$ .

Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε ότι οι συντεταγμένες του

είναι οι $x= \dfrac {2}{3} a+ \dfrac {10}{3}$ και $y = -\dfrac {2}{3} b$ . Άρα

$\displaystyle{\left (x- \dfrac {10}{3} \right ) ^2+ y^2= \left ( \dfrac {2}{3} a\right ) ^2+ \left ( -\dfrac {2}{3} b\right ) ^2= \dfrac {4}{9} (a^2+b^2)= \dfrac {4}{9}\cdot 9 = 4}$

Δηλαδή κύκλος κέντρου $\displaystyle{ \left (\dfrac {10}{3} ,0 \right) }$ και ακτίνας

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 21, 2025 6:20 am
Ο κύκλος και τα σημεία είναι σταθερά , ενώ η διάμετρος μεταβλητή . Ονομάζουμε

την τομή των ευθειών και . Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του .

Καλησπέρα...

Μετά τις διάφορες λύσεις που προηγήθηκαν αναρτώ και τη δικιά μου σκέψη η οποία είναι σαν και τη λύση

που ανάρτησε ο Μιχάλης λίγο πιο γενικευμένη...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Μειωμένης ακτίνας 1.png (57.36 KiB) Προβλήθηκε 1017 φορές

Στο σχήμα αυτό θεωρήθηκαν τα σημεία $\displaystyle{A, B}$ με συντεταγμένες:

$\displaystyle{x_A=rcos(t), y_A=rsin(t), \ \ t\in[0,2\pi) \ \ (1) }$

Επίσης τα σημεία

$\displaystyle{x_B=-rcos(t), y_B==rsin(t), \ \ t\in[0,2\pi) \ \ (2)}$

Επίσης τα σημεία:

$\displaystyle{P(m,0), \ \ T(n,0), \ \ m\leq r \leq n \ \ (3) }$

Στη συνέχεια βρίσκουμε τις εξισώσεις των ευθειών που ορίζουν τα τμήματα $\displaystyle{AP, BT}$ .

Αυτές είναι:

$\displaystyle{e_1:AP:y=\frac{rsint}{rcost-m}(x-m} \ \ (4) }$

$\displaystyle{e_2:BT:y=\frac{rsint}{rcost+n}(x-n) \ \ (5) }$

Λύνοντας το σύστημα των (4) και (5) βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής αυτών, δηλαδή

του σημείου $\displaystyle{M}$ . Αυτές είναι:

$\displaystyle{x_M=\frac{(m-n)rcost+2mn}{m+n} \ \ (6) }$

$\displaystyle{y_M=\frac{m-n}{m+n}rsint \ \ (7) }$

Οι εξισώσεις (6) και (7) είναι οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης που διαγράφει το σημείο $\displaystyle{M}$

και σύμφωνα με αυτές κατασκευάστηκε το ανωτέρω σχήμα καθώς και το αντίστοιχο δυναμικό που θα

αναρτήσω στο τέλος.

Αν τώρα από τις σχέσεις (6) και (7) απαλείψω τη γωνία $\displaystyle{t}$ τότε θα προκύψει:

$\displaystyle{(x-\frac{2mn}{m+n})^2+y^2=(\frac{m-n}{m+n})^2r^2 \ \ (8) }$

Από την (8) προκύπτει ότι η καμπύλη μας είναι ένας κύκλος με κέντρο:

$\displaystyle{K(\frac{2mn}{m+n},0) \ \ (9) }$

και ακτίνα:

$\displaystyle{R=\frac{n-m}{m+n}r \ \ (10) }$

Από την (9) εύκολα προκύπτει ότι το σημείο $\displaystyle{K}$ είναι στη θέση του μέσου αρμονικού των σημείων $\displaystyle{ P, T}$

Αναρτώ και το δυναμικό σχήμα:

https://www.geogebra.org/m/rh3xj48m

Κώστας Δόρτσιος

Μειωμένης ακτίνας

Μειωμένης ακτίνας

Re: Μειωμένης ακτίνας

Re: Μειωμένης ακτίνας

Re: Μειωμένης ακτίνας

Re: Μειωμένης ακτίνας

Μέλη σε σύνδεση