Η ελάχιστη απομάκρυνση

KARKAR · #1

: Η ελάχιστη απομάκρυνση.png (7.52 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές

Σημείο

κινείται στην πλευρά

του τριγώνου ABC

, με :

.

Η κάθετη της

στο

, τέμνει την

στο σημείο

και έστω

η προβολή του

στην

.

Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 27, 2025 6:43 am
Η ελάχιστη απομάκρυνση.pngΣημείο κινείται στην πλευρά του τριγώνου , με : .

Η κάθετη της στο , τέμνει την στο σημείο και έστω η προβολή του στην .

Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

.
Με αρχή των αξόνων το

είναι

. Έστω

. Tότε η

έχει κλίση $-\dfrac {5}{a}$ και άρα η ευθεία

έχει εξίσωση $y=\dfrac {a}{5}(x-a)$ . Τέμνει την

, η οποία έχει εξίσωση $y= -\dfrac {5}{12}(x-12)$ (διόρθωσα λογιστικό σφάλμα), στο (λύνουμε το γραμμικό σύστημά τους) σημείο

με τετμημένη

$\dfrac {12(a^2+25)}{12a+25}$ οπότε $AS= \dfrac {12(a^2+25)}{12a+25}$ .

Η παράγωγος αυτού είναι $\dfrac {24(6a^2+25a-150}{(12a+25)^2}$ που μηδενίζεται όταν $a=\dfrac {10}{3}$ (δίνει ελάχιστο). Η τιμή του ελάχιστου, με αντικατάσταση πίσω στην παράσταση, είναι $\boxed {AS_{min}=\dfrac {20}{3} }$

Edit. Διόθωσα λογιστικό σφάλμα που μου υπέδειξε ο θεματοθέτης Θανάσης. Τον ευχαριστώ θερμά.

KARKAR · #3

: Η ελάχιστη απομάκρυνση.png (8.88 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές

Χωρίς χρήση συντεταγμένων : Ονομάζοντας

το τμήμα

και με χρήση της ομοιότητας των BAD , DSE

,

βρίσκω το

. Επειδή : $\dfrac{ES}{SC}=\dfrac{5}{12}$ , τελικά είναι : $m=\dfrac{12x^2+300}{12x+25}$ , με το ίδιο (ως άνω) αποτέλεσμα .

Σ' αυτές τις περιπτώσεις αναρωτιέται κανείς αν μπορεί να αποφύγει τον διαφορικό λογισμό

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 30, 2025 8:44 am

Σ' αυτές τις περιπτώσεις αναρωτιέται κανείς αν μπορεί να αποφύγει τον διαφορικό λογισμό

Καλημέρα σε όλους. Θανάση, ίσως κάτι τέτοιο:

Έστω $\displaystyle m = \frac{{12{x^2} + 300}}{{12x + 25}},\;\;x > 0$

Έστω $\displaystyle y = 12x + 25 \Leftrightarrow x = \frac{{y - 25}}{{12}},\;\;y > 25$ ,

Οπότε $\displaystyle m = \frac{{12\frac{{{{\left( {y - 25} \right)}^2}}}{{{{12}^2}}} + 300}}{y} = \frac{{{y^2} - 50y + 4225}}{{12y}} = \frac{y}{{12}} + \frac{{4225}}{{12y}} - \frac{50}{12}$

Το γινόμενο $\displaystyle \frac{y}{{12}},\frac{{4225}}{{12y}}$ είναι σταθερό, οπότε το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο όταν γίνουν ίσοι (αν μπορεί να γίνει αυτό).

Είναι $\displaystyle \frac{y}{{12}} = \frac{{4225}}{12y} \Leftrightarrow {y^2} = 65^2$ , οπότε $\displaystyle {\left( {12x + 25} \right)^2} = {65^2} \Leftrightarrow 12x = 40\;\;\;\;\; \vee \;\;12x = - 85$

Η 2η λύση απορρίπτεται, οπότε έχουμε ελάχιστο για $\displaystyle x = \frac{{10}}{3}$ , με ελάχιστη τιμή $\displaystyle m = \frac{{20}}{3}$

KARKAR · #5

Όμορφα Γιώργο ! Αλλιώς ( χωρίς την αντικατάσταση ) : Κάνοντας την διαίρεση , βρίσκουμε :

$m=x-\dfrac{25}{12}+\dfrac{4225}{12(12x+25)}=\dfrac{12x+25}{12}+\dfrac{4225}{12(12x+25)}-\dfrac{50}{12}\geq$

$2\sqrt{\dfrac{4225}{144}}-\dfrac{50}{12}=\dfrac{20}{3}$ , το οποίο κατά τα γνωστά επιτυγχάνεται για : $x=\dfrac{10}{3}$ .

Η ελάχιστη απομάκρυνση

Η ελάχιστη απομάκρυνση

Re: Η ελάχιστη απομάκρυνση

Re: Η ελάχιστη απομάκρυνση

Re: Η ελάχιστη απομάκρυνση

Re: Η ελάχιστη απομάκρυνση

Μέλη σε σύνδεση