Τοπολογία άλλου είδους

KARKAR · #1

: Άγονος τόπος.png (12.59 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Μεταβλητός κύκλος διερχόμενος από τα σημεία O(0,0)

και

τέμνει τις ευθείες : y=3x

και :

στα σημεία S , T

αντίστοιχα . Δείξτε ότι το μέσο του τμήματος

κινείται σε σταθερή ευθεία , την οποία βρείτε .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 28, 2024 10:46 am
Άγονος τόπος.pngΜεταβλητός κύκλος διερχόμενος από τα σημεία και τέμνει τις ευθείες : και :

στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι το μέσο του τμήματος κινείται σε σταθερή ευθεία , την οποία βρείτε .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
( ).

Είναι: $A\left( {4,2} \right)$ , $OA:\,\,\,x - 2y = 0$ . Έτσι για κάθε , $k \in \mathbb{R}$ η μονοπαραμετρική εξίσωση , $\left( {x - 0} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {y - 0} \right)\left( {y - 2} \right) + k\left( {x - 2y} \right) = 0$

Παριστάνει το σύνολο όλων των κύκλων που διέρχονται από τα $O\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,A$ . Δηλαδή: ${x^2} + {y^2} + \left( {k - 4} \right)x - 2\left( {k + 1} \right)y = 0\,\,\left( 1 \right)$ .

: Τοπολογία άλλου είδους.png (20.93 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές

Οπότε εύκολα προκύπτουν : $T\left( {4 - k,0} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S\left( {\dfrac{{k + 3}}{2},\dfrac{{3k + 6}}{2}} \right)$ συνεπώς το $M\left( {\dfrac{{10 - k}}{4},\dfrac{{3k + 6}}{4}} \right)$ .

Έτσι για κάθε $M\left( {x,y} \right)$ έχω: $4x = 10 - k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,4y = 3k + 6$ με απαλοιφή της παραμέτρου

έχω την εξίσωση του τόπου : $\boxed{3x + y - 9 = 0}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 28, 2024 10:46 am
Άγονος τόπος.pngΜεταβλητός κύκλος διερχόμενος από τα σημεία και τέμνει τις ευθείες : και :

στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι το μέσο του τμήματος κινείται σε σταθερή ευθεία , την οποία βρείτε .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
( ).

Έστω

η εξίσωση του κύκλου. Επειδή διέρχεται από τα σημεία O(0,0), A(4,2)

θα είναι:

και $\displaystyle {4^2} + {2^2} + 4a + 2b = 0 \Leftrightarrow b = - 2a - 10.$ Έτσι, $\boxed{C: x^2+y^2+ax-2(a+5)y=0}$

Εύκολα τώρα βρίσκω $\displaystyle S\left( {\frac{{a + 6}}{2},\frac{{3a + 18}}{2}} \right),T\left( { - a,0} \right) \Rightarrow M(x,y) = \left( {\frac{{6 - a}}{4},\frac{{3a + 18}}{4}} \right),$

απ' όπου με απαλοιφή του

προκύπτει η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας $\boxed{y=9-3x}$

Τοπολογία άλλου είδους

Τοπολογία άλλου είδους

Re: Τοπολογία άλλου είδους

Re: Τοπολογία άλλου είδους

Μέλη σε σύνδεση