Ανάλογα με το σημείο επαφής

KARKAR · #1

: Ανάλογα με το σημείο επαφής.png (17.35 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές

Οι κύκλοι (K,R)

και

εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο S(a,b)

του πρώτου τεταρτημορίου ,

ενώ ο πρώτος εφάπτεται του

στο

και ο δεύτερος του

στο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{R}{r}$ .

Ειδικότερα υπολογίστε αυτόν τον λόγο αν : (a,b)=(3,4)

, ή αν : (a,b)=(k,2k) , k>0

.

Συμπλήρωση : Η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων διέρχεται από το

( by Doloros )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 10, 2024 7:15 am
Ανάλογα με το σημείο επαφής.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο του πρώτου τεταρτημορίου ,

ενώ ο πρώτος εφάπτεται του στο και ο δεύτερος του στο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{R}{r}$ .

Ειδικότερα υπολογίστε αυτόν τον λόγο αν : , ή αν : .

Συμπλήρωση : Η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων διέρχεται από το ( by Doloros )

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle \tan 2\theta = \frac{b}{a} = \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} \Leftrightarrow \tan \theta = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a}}{b}$

Ομοίως βρίσκω $\displaystyle tan2\omega = \frac{a}{b}$ και $\displaystyle \tan \omega = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} - b}}{a}$

: Ανάλογα με το σημείο επαφής.png (23.63 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές

Αλλά, $\boxed{\frac{R}{r} = \frac{{\tan \theta }}{{\tan \omega }} = \frac{{\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a} \right)\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} + b} \right)}}{{ab}}}$

$\displaystyle \bullet$ Αν a=3, b=4,

τότε $\boxed{ \frac{R}{r} = \frac{3}{2}}$

$\displaystyle \bullet$ Αν a=k, b=2k,

τότε $\displaystyle \frac{R}{r} = \frac{{\left( {k\sqrt 5 - k} \right)\left( {k\sqrt 5 + 2k} \right)}}{{2{k^2}}} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} = {\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \frac{R}{r} = {\varphi ^2}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 10, 2024 7:15 am
Ανάλογα με το σημείο επαφής.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο του πρώτου τεταρτημορίου ,

ενώ ο πρώτος εφάπτεται του στο και ο δεύτερος του στο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{R}{r}$ .

Ειδικότερα υπολογίστε αυτόν τον λόγο αν : , ή αν : .

Συμπλήρωση : Η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων διέρχεται από το ( by Doloros )

Τα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,L$ ανήκουν στην κάθετη στο

επί την

, δηλαδή στην ευθεία με εξίσωση : $y - b = - \dfrac{a}{b}\left( {x - a} \right)\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Ανήκουν επίσης το μεν

στην παραβολή με εστία το

και διευθετούσα τον οριζόντιο άξονα , έχει εξίσωση : ${\left( {x - a} \right)^2} = 2b\left( {y - \dfrac{b}{2}} \right)\,\,\left( 2 \right)$

Το δε

στην παραβολή με εστία το

και διευθετούσα τον κατακόρυφο άξονα , έχει εξίσωση : ${\left( {y - b} \right)^2} = 2a\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)\,\,\,\left( 3 \right)$ .

: Ανάλογα με το σημείο επαφής.png (22.43 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

Από το σύστημα των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ κρατάμε τη λύση : $\boxed{K\left( {s,\frac{{{s^2} - as}}{b}} \right)}$ και από το σύστημα των $\left( 1 \right)\,\,,\left( 3 \right)$ τη λύση : $\boxed{L\left( {\frac{{{s^2} - bs}}{a},s} \right)}$ .

Με $\boxed{s = OS = \sqrt {{a^2} + {b^2}} }$ .

Έτσι : $\boxed{\frac{R}{r} = \frac{{a\left( {s - a} \right)}}{{b\left( {s - b} \right)}}}\,\,\,\left( * \right)$ που με $a = 3\,\,,\,\,b = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,s = 5$ δίδει , $\boxed{\frac{R}{r} = \frac{{3\left( {5 - 3} \right)}}{{4\left( {5 - 4} \right)}} = \dfrac{3}{2}}$ , ενώ αν $S\left( {k,2k} \right)\,,\,\,k > 0$ επί της ουσίας θεωρώ :

$a = 1\,\,,\,\,\,b = 2\,\,,\,\,s = \sqrt 5$ και ο τύπος $\left( * \right)$ δίδει : $\boxed{\dfrac{R}{r} = \dfrac{{1\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}$

Ανάλογα με το σημείο επαφής

Ανάλογα με το σημείο επαφής

Re: Ανάλογα με το σημείο επαφής

Re: Ανάλογα με το σημείο επαφής

Μέλη σε σύνδεση