Ώρα εφαπτομένης 160

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 160.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

Η

είναι διχοτόμος στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC

. Οι κύκλοι που εφάπτονται εσωτερικά

στον περίκυκλο στα σημεία A , B

και διέρχονται από το

, τέμνονται στο

. Υπολογίστε την $\tan \omega$ .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 11, 2023 8:52 pm
Ώρα εφαπτομένης 160.pngΗ είναι διχοτόμος στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο . Οι κύκλοι που εφάπτονται εσωτερικά

στον περίκυκλο στα σημεία και διέρχονται από το , τέμνονται στο . Υπολογίστε την $\tan \omega$ .

Από τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα KAD,IDB

είναι $\hat{KDI}=90^{0},$ Συνεπώς οι κύκλοι (K),(I),

είναι ορθογώνιοι και το τετράπλευρο OKDI

είναι ορθογώνιο .Αρα $R=r+\rho ,$ όπου $OB=R,IB=\rho ,AK=r,$ . $\hat{KDS}=\sigma ,\omega =45+\sigma ,tan\omega =\dfrac{1+tan\sigma }{1-tan\sigma },(*),tan\sigma =\dfrac{KN}{NS}$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο $KDI,\dfrac{KN}{ND}=\dfrac{r}{\rho } =x$

Απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $ABC,AD.DB=R^{2}\dfrac{2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}},OD^{2}=KI^{2}=\rho ^{2}+r^{2},$ και από Stweart

στο τρίγωνο $OAB,\sqrt{2}x^{2}-3x+\sqrt{2}=0,x=\sqrt{2},x=\dfrac{\sqrt{2}}{2},tan\omega =3+2\sqrt{2}, -(3+\sqrt{2})$
Η αρνητική τιμή απορρίπτεται

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 11, 2023 8:52 pm
Ώρα εφαπτομένης 160.pngΗ είναι διχοτόμος στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο . Οι κύκλοι που εφάπτονται εσωτερικά

στον περίκυκλο στα σημεία και διέρχονται από το , τέμνονται στο . Υπολογίστε την $\tan \omega$ .

Αφού ζητώ τριγωνομετρικό αριθμό υποθέτω : $AB = AC = 1 + \sqrt 2$ .

Έστω O,K,L

τα κέντρα του μεγάλου κύκλου και τα κέντρα των κύκλων που εφάπτονται σ αυτόν στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\,$ διερχόμενοι κι από το

.

Εύκολα έχω ότι: TA = AD = DL = LB = 1

. Θέτω $ST = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD = y.$

Από Π. Θ. στο $\vartriangle SAB$ και Θ. διχοτόμου σ αυτό έχω: $\left\{ \begin{gathered} S{A^2} + S{B^2} = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} \hfill \\ \dfrac{{SA}}{{SB}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AS = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}{3}\,\,\left( 1 \right)$

Από Θ. Πτολεμαίου στο τετράπλευρο ADST

και λόγω Π. Θ. στο $\vartriangle STD$ και της $\left( 1 \right)$ έχω:

: Ωρα εφαπτομένης 160_ok.png (36.26 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

$\left\{ \begin{gathered} x + y = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}{3}\sqrt 2 \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{\sqrt 6 }}{3} \hfill \\ y = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα $\tan \theta = \dfrac{x}{y} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ , έτσι $\boxed{\tan \omega = \tan \left( {45 + \theta } \right) = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }} = 3 + 2\sqrt 2 }$ .

Ώρα εφαπτομένης 160

Ώρα εφαπτομένης 160

Re: Ώρα εφαπτομένης 160

Re: Ώρα εφαπτομένης 160

Μέλη σε σύνδεση