Μεγιστοποίηση διαδρομής

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση διαδρομής.png (6.41 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Η χορδή

είναι παράλληλη προς τη διάμετρο AB=2r

, του ημικυκλίου μας .

Υπολογίστε το : $(AS+ST)_{max}$ . ( Πολλοί τρόποι λύσης ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 05, 2022 7:15 am
Μεγιστοποίηση διαδρομής.pngΗ χορδή είναι παράλληλη προς τη διάμετρο , του ημικυκλίου μας .

Υπολογίστε το : $(AS+ST)_{max}$ . ( Πολλοί τρόποι λύσης ) .

Έστω

το απόστημα της χορδής ST.

: Μεγιστοποίηση διαδρομής.png (10.97 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

$\displaystyle ST = 2\sqrt {{r^2} - {x^2}}$ και $\displaystyle A{S^2} = 2{r^2} - 2{r^2}\cos \theta \mathop \Leftrightarrow \limits^{\cos \theta = \frac{{ST}}{{2r}}} AS = \sqrt {2{r^2} - 2r\sqrt {{r^2} - {x^2}} }$

$\displaystyle AS + ST = \sqrt {2{r^2} - 2r\sqrt {{r^2} - {x^2}} } + 2\sqrt {{r^2} - {x^2}},$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω

$\boxed{ {(AS + ST)_{\max }} = \frac{{9r}}{4}}$ για $\boxed{x = \frac{{r\sqrt {15} }}{8}}$

Για ευκολία στον υπολογισμό της παραγώγου, θέτω $\sqrt{r^2-x^2}=t,$ κλπ.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 05, 2022 7:15 am
Μεγιστοποίηση διαδρομής.pngΗ χορδή είναι παράλληλη προς τη διάμετρο , του ημικυκλίου μας .

Υπολογίστε το : $(AS+ST)_{max}$ . ( Πολλοί τρόποι λύσης ) .

: Μεγιστοποίηση διαδρομής.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

Έστω

η ορθή προβολή του

στην

. Τότε με $\angle ASB={{90}^{0}}$ (από το ημικύκλιο) θα είναι $AS=\sqrt{x\cdot 2r}=\sqrt{r}\cdot \sqrt{2x}$ και προφανώς ST=2r-2x

Άρα $AS+ST=f\left( x \right)=-2x+\sqrt{r}\cdot \sqrt{2x}+2r\overset{y=\sqrt{2x}}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $AS+ST=g\left( y \right)=-{{y}^{2}}+\sqrt{r}\cdot y+2r$ , τριώνυμο ως προς

το οποίο με a=-1<0

παρουσιάζει μέγιστο για $y=\dfrac{\sqrt{r}}{2},\left( -\dfrac{\beta }{2\alpha } \right)$ το $g\left( \dfrac{\sqrt{r}}{2} \right)=-\dfrac{r}{4}+\dfrac{r}{2}+2r=\dfrac{9r}{4}$ και το ζητούμενο έχει βρεθεί.

Μεγιστοποίηση διαδρομής

Μεγιστοποίηση διαδρομής

Re: Μεγιστοποίηση διαδρομής

Re: Μεγιστοποίηση διαδρομής

Μέλη σε σύνδεση