Ανέπαφη

KARKAR · #1

: Ανέπαφη.png (10.85 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

Οι αριθμοί a , b

είναι μη μηδενικοί . Δίνεται ότι οι εξισώσεις : ax+by+c=0

και :

, παριστάνουν ευθεία και κύκλο αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι για : c=0

, η ευθεία εφάπτεται του κύκλου .

β) Υπάρχει περίπτωση για : $c\neq 0$ , η ευθεία να εφάπτεται του κύκλου ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 07, 2022 9:32 am
Ανέπαφη.pngΟι αριθμοί είναι μη μηδενικοί . Δίνεται ότι οι εξισώσεις :

και : , παριστάνουν ευθεία και κύκλο αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι για : , η ευθεία εφάπτεται του κύκλου .

β) Υπάρχει περίπτωση για : $c\neq 0$ , η ευθεία να εφάπτεται του κύκλου ;

$\displaystyle y = - \frac{{ax + c}}{b}$ και το σύστημα των δύο εξισώσεων δίνει:

$\displaystyle {x^2} + {\left( {\frac{{ax + c}}{b}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow ({a^2} + {b^2}){x^2} + 2acx + {c^2} = 0$ με διακρίνουσα $\displaystyle \Delta = - 4{b^2}{c^2}$

α) Αν c=0

η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο ........... β) Αν $c\ne 0$ η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 07, 2022 9:32 am
Ανέπαφη.pngΟι αριθμοί είναι μη μηδενικοί . Δίνεται ότι οι εξισώσεις :

και : , παριστάνουν ευθεία και κύκλο αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι για : , η ευθεία εφάπτεται του κύκλου .

β) Υπάρχει περίπτωση για : $c\neq 0$ , η ευθεία να εφάπτεται του κύκλου ;

α) Αν

οι εξισώσεις της ευθείας και του κύκλου είναι

: $\left\{ \begin{gathered} ax + by = 0 \hfill \\ {x^2} + {y^2} + ax + by = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} ax + by = 0 \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} ax + by = 0 \hfill \\ x = y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Άρα έχουν ένα μοναδικό σημείο το O(0,0)

, δηλαδή η ευθεία και ο κύκλος εφάπτονται με σημείο επαφής την αρχή των αξόνων .

β) Με $c \ne 0$ για να εφάπτονται οι δύο γραμμές πρέπει και αρκεί η απόσταση του

κέντρου $K\left( { - \dfrac{a}{2}, - \dfrac{b}{2}} \right)$ του κύκλου από την ευθεία να ισούται με την ακτίνα

$R = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} - 4c}$ με προφανώς ${a^2} + {b^2} - 4c > 0$ . Η ισότητα αυτή γράφεται :

$\dfrac{{\left| {a\left( { - \dfrac{a}{2}} \right) + b\left( { - \dfrac{b}{2}} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} - 4c}$ . Πολλαπλασιάζω τα δύο μέλη με

.

$\displaystyle \dfrac{{\left| { - {a^2} - {b^2} + 2c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 4c}$ ή $\left| {{a^2} + {b^2} - 2c} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} - 4c}$

Για ευκολία υπολογισμών θέτω : ${a^2} + {b^2} = k\,\,,\,\,k > 0$ κι έχω :

$\left| {k - 2c} \right| = \sqrt {k(k - 4c)} \Rightarrow {k^2} - 4kc + 4{c^2} = {k^2} - 4kc$ και άρα c = 0

( άτοπο αφού $c \ne 0$ ).

Ανέπαφη

Ανέπαφη

Re: Ανέπαφη

Re: Ανέπαφη

Μέλη σε σύνδεση