Από σταθερό σημείο

KARKAR · #1

Για την παραβολή : f(x)=ax^2+bx+c

, είναι γνωστό ότι ο

είναι σταθερός θετικός ,

ο

τυχών αρνητικός και ο

τυχών πραγματικός .

Α) Δείξτε ότι η παραβολή τέμνει τους δύο άξονες σε τρία ακριβώς σημεία .

Β) Δείξτε ότι ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από αυτά τα σημεία , διέρχεται και από ένα σταθερό σημείο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 01, 2022 7:11 pm
Για την παραβολή : , είναι γνωστό ότι ο είναι θετικός και ο αρνητικός .

Α) Δείξτε ότι η παραβολή τέμνει τους δύο άξονες σε τρία ακριβώς σημεία .

Β) Δείξτε ότι ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από αυτά τα σημεία , διέρχεται και από ένα σταθερό σημείο .

H διατύπωση θέλει διόρθωση γιατί πρώτα απ' όλα λείπουν οι ποσοδείκτες για τα $a,\,b,\,c$ . Θεωρώ ότι η σωστή διατυπωση είναι:

Έστω $a,\, c$ πραγματικοί αριθμοί με $a>0,\, c<0$ . Δείξτε ότι για κάθε οι παραβολές τέμνουν ... και λοιπά.

Με αυτό ως δεδομένο. το πρώτο μέρος της άσκησης είναι άμεσο αφού η παραβολή τέμνει τους άξονες (μόνο) στα $A(\rho _1,\, 0), \, B(\rho _2, \, 0),\, C(0,\, c)$ . Εδώ $\rho _1 <0 < \rho _2$ αφού το γινόμενό τους $\rho _1\rho _2= c/a$ είναι αρνητικό.

Για το

θα δείξουμε τρία παραπάνω σημεία είναι ομοκυκλικά με το $D\left ( 0, \dfrac {1}{a} \right )$ (που είναι ανεξάρτητο το

).

Πράγματι είναι $OA\cdot OB=\left |\rho _1\rho _2 \right |= \left | \dfrac {c}{a} \right | = \left |c \cdot \dfrac {1}{a} \right | = OC\cdot OD$ , ο.ε.δ.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 01, 2022 7:11 pm
Για την παραβολή : , είναι γνωστό ότι ο είναι θετικός και ο αρνητικός .

Α) Δείξτε ότι η παραβολή τέμνει τους δύο άξονες σε τρία ακριβώς σημεία .

Β) Δείξτε ότι ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από αυτά τα σημεία , διέρχεται και από ένα σταθερό σημείο .

Για το Β) ερώτημα έχω την εντύπωση ότι κάτι δεν πάει καλά εκτός αν δεν βλέπω κάτι. Εκτός της δέσμευσης a>0,c<0

τα

είναι τυχαίοι πραγματικοί ;

Δηλαδή για οποιαδήποτε παραβολή της πιο πάνω μορφής (με την δέσμευση των a,c

που αναφέρεται) ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία τομής της με τους άξονες (εύκολη η ύπαρξή τους) διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο ανεξάρτητο των a,b,c

;

Υ.Σ. Με πρόλαβε ο Μιχάλης παρότι έχω ακόμα μια ένσταση ως προς την διόρθωση της εκφώνησης: Ο κύκλος θα διέρχεται και από ένα άλλο σταθερό σημείο αν δίνονται δύο οποιαδήποτε σταθερά από τα a,b,c

και μεταβάλλεται το τρίτο από αυτά.

Ας μας διαφωτίσει ο Θανάσης τι ακριβώς εννοεί

#4

Δίδεται : $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,$ , με

δεδομένος θετικός ,

δεδομένος αρνητικός και

πραγματική παράμετρος .

α) Προφανώς η ${C_f}$ θα τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο $C\left( {0,c} \right)$ και τον οριζόντιο στα $A\left( {{x_1},0} \right)\,\,\,,\,\,{x_1} < 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\left( {{x_2},0} \right)\,\,,\,\,{x_2} > 0$ .

Τα ${x_1}\,\,,\,\,{x_2}$ είναι οι ετερόσημες ρίζες της εξίσωσης $f\left( x \right) = 0$ ( αφού ac < 0

έχω πάντα ρίζες ετερόσημες).

Η οικογένεια των κύκλων που διέρχονται από τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ έχει εξίσωση :

$\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) + \left( {y - {y_1}} \right)\left( {y - {y_2}} \right) + ky = 0$ με $k \in \mathbb{R}$ . Επειδή ${y_1} = {y_2} = 0$ η προηγούμενη εξίσωση γράφεται :

${x^2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2} + {y^2} + ky = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \dfrac{b}{a}x + ky + \dfrac{c}{a} = 0$ .

: Απο σταθερό σημείο _1_4_2022.png (18.58 KiB) Προβλήθηκε 832 φορές

Διέρχεται όμως κι από το $C\left( {0,c} \right)$ άρα επαληθεύεται απ’ αυτό και προσδιορίζουμε την παράμετρο, $\boxed{k = - \left( {c + \dfrac{1}{a}} \right)}$

Δηλαδή ο κύκλος έχει εξίσωση : $\boxed{{x^2} + {y^2} + \dfrac{b}{a}x - \left( {c + \dfrac{1}{a}} \right)y + \dfrac{c}{a} = 0}$

β) με δεδομένα και σταθερά τα

και

, παράμετρο το

θα διέρχεται από σταθερό σημείο αρκεί x = 0

.

Τότε η εξίσωση γίνεται : $a{y^2} - \left( {ac + 1} \right)y + c = 0$ κι έχει ρίζες , $y = c\,\,$ είτε $y = \dfrac{1}{a}$ συνεπώς διέρχεται από δύο σταθερά σημεία :

$\boxed{C\left( {0,c} \right)}$ και το $\boxed{S\left( {0,\dfrac{1}{a}} \right)}$ δηλαδή από τα A,B,C

που είναι υπόθεση, αλλά ακόμα από τέταρτο σταθερό το $\boxed{S\left( {0,\frac{1}{a}} \right)}$ .

Στο πιο πάνω σχήμα : $a = \dfrac{1}{5}\,\,,\,\,b = c = - 1$ και ο κύκλος που προκύπτει έχει εξίσωση

${x^2} + {y^2} - 5x - 4y - 5 = 0$ . Το $S\left( {0,5} \right)$

#5

Με αφορμή και τα σχόλια του Στάθη παραπάνω, παρατηρώ ότι δεν χρειάζεται ούτε το

να είναι σταθερό. Αρκεί μονο η απαίτηση να είναι αρνητικό.
Η λύση που έδωσα αλλά και του Νίκου δείχνουν ότι ισχύει το εξής:

Έστω δοθείς πραγματικός αριθμός. Δείξτε ότι για κάθε και για κάθε οι παραβολές τέμνουν ... και λοιπά.

Υπόψη το σταθερό σημείο από όπου διέρχονται όλοι οι εν λόγω κύκλοι είναι το $D\left ( 0, \dfrac {1}{a} \right )$ .

KARKAR · #6

Φίλοι μου , συμπαθάτε με . Είχα βγει έξω και στο δρόμο συνειδητοποίησα την παράλειψη στην εκφώνηση . Κάνω την

διόρθωση στην αρχική .

Από σταθερό σημείο

Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση