Ορθογώνιες ελαχιστοποιήσεις

KARKAR · #1

: Ορθογώνιες ελαχιστοποιήσεις.png (10.41 KiB) Προβλήθηκε 760 φορές

Το ορθογώνιο ABCD

έχει διαστάσεις $6\times 2$ . Το ίσο του ορθογώνιο EZHT

περιστρέφεται ,

με σταθερό σημείο το

. Ονομάζουμε

την τομή των EZ , CD

και

, εκείνη των TH , CD

.

Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του κοινού τους μέρους , δηλαδή του τετραπλεύρου ESPT

.

#2

Καλησπέρα σε όλους. Με ένα δύο βοηθητικά ερωτήματα (όπως π.χ. να εκφραστούν τα εμπλεκόμενα μεταβλητά μεγέθη συναρτήσει της γωνίας $\omega$ ο Θανάσης δίνει ωραίες ιδέες στους θεματοδότες!

: 19-09-2021 Γεωμετρία.jpg (28.97 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Φέρνουμε την κάθετη

στην

.

$\displaystyle ES = \frac{2}{{\eta \mu \omega }},\;\;RS = \frac{2}{{\varepsilon \varphi \omega }}$ , $\displaystyle \omega \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$

$\displaystyle \Rightarrow TP = ER = ES - RS = \frac{2}{{\eta \mu \omega }} - \frac{2}{{\varepsilon \varphi \omega }}$ .

$\displaystyle \left( {TPSE} \right) = \frac{{TP + ES}}{2} \cdot 2 = TP + ES$

$\displaystyle = \frac{2}{{\eta \mu \omega }} - \frac{2}{{\varepsilon \varphi \omega }} + \frac{2}{{\eta \mu \omega }} = \frac{4}{{\eta \mu \omega }} - \frac{2}{{\varepsilon \varphi \omega }}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( \omega \right) = \frac{{4 - 2\sigma \upsilon \nu \omega }}{{\eta \mu \omega }},\;\;\omega \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( \omega \right) = \frac{{2 - 4\sigma \upsilon \nu \omega }}{{\eta \mu \omega }}$

Με πίνακα προσήμων της παραγώγου, βλέπουμε ότι έχει ελάχιστο όταν $\displaystyle \omega = \frac{\pi }{3}$ με τιμή $\displaystyle {\left( {TPSE} \right)_{\min }} = 2\sqrt 3$

#3

: Ορθογώνιες ελαχιστοποιήσεις.png (18.45 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Έστω $M\,\,,\,\,N$ τα μέσα των $PS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TE$ . Θέτω , $\boxed{MN = y\,\,\,\,( = \frac{{TP + ES}}{2})}$ και $ME = x \geqslant 2$ . Είναι $y = f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 1} \geqslant \sqrt 3$ .

Επειδή το $\left( {ESPT} \right) = 2y = 2f\left( x \right) = 2\sqrt {{x^2} - 1} \geqslant 2\sqrt 3$ , θα έχω: $\boxed{{{\left( {ESPT} \right)}_{\min }} = 2\sqrt 3 }$ για $\boxed{x = 2}$ , δηλαδή όταν $ME \bot AB$ .

Ορθογώνιες ελαχιστοποιήσεις

Ορθογώνιες ελαχιστοποιήσεις

Re: Ορθογώνιες ελαχιστοποιήσεις

Re: Ορθογώνιες ελαχιστοποιήσεις

Μέλη σε σύνδεση