Τριψήφια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος

Al.Koutsouridis · #1

Ο πρώτος όρος (πεπερασμένου αριθμού όρων) γεωμετρικής προόδου, που αποτελείται από τριψήφιους φυσικούς αριθμούς, είναι ίσος με 128

. Εξάλλου, η πρόοδος έχει τουλάχιστον τρεις όρους. Ποιός είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να αποτελεί όρο μιας τέτοιας προόδου;

Για Β' & Γ' Λυκείου. Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση Ρωσία, 2021.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 11, 2021 11:57 am
Ο πρώτος όρος (πεπερασμένου αριθμού όρων) γεωμετρικής προόδου, που αποτελείται από τριψήφιους φυσικούς αριθμούς, είναι ίσος με . Εξάλλου, η πρόοδος έχει τουλάχιστον τρεις όρους. Ποιός είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να αποτελεί όρο μιας τέτοιας προόδου;

Απάντηση:

μέσω της $128\rightarrow 192 \rightarrow 288\rightarrow 432 \rightarrow 648 \rightarrow 972,\, (*)$ (ο λόγος είναι 3/2

).

Για την λύση έχουμε μάλλον ανιαρή περιπτωσιολογία. Θα ήταν πιο καλή άσκηση αν ρώταγε ποια είναι η γεωμετρική πρόοδος με τους περισσότερους όρους. Η απάντηση είναι η ίδια (*)

αλλά γλιτώνουμε την περιπτωσιολογία.

O λόγος της προόδου είναι ρητός αριθμός ως το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων της γεωμετρικής (εκ φυσικών αριθμών) προόδου. Έστω ότι ο λόγος αυτός είναι $\dfrac {p}{q}$ , όπου p,q

πρώτοι προς αλλήλους με p>q

. Τότε ο δεύτερος όρος είναι $\dfrac {128p}{q} \in \mathbb R$ , άρα q|128=2^7

. Είναι λοιπόν q=2^k

για κάποιον

από

έως

.

- Για q=1

ο λόγος είναι

(φυσικός). Μία πιθανή γεωμετρική πρόοδος είναι (παίρνω p=2

) η $128\rightarrow 256 \rightarrow 512$ . Για $p\ge 3$ δεν υπάρχει πρόοδος με τρεις τριψήφιους όρους (ήδη ο τρίτος ξεπερνά το 1000

). Το κρατάμε και ελέγχουμε τις άλλες περιπτώσεις.

- Για q=2

. Τότε η περίπτωση p=3

δίνει την

. Η

δίνει $128\rightarrow 320 \rightarrow 800$ και εδώ σταματάει. Για $p\ge 7$ δεν υπάρχει πρόοδος με τρεις τριψήφιους όρους (ήδη ο τρίτος ξεπερνά το 1000

).

- Για q=4

. Για

παίρνουμε $128\rightarrow 160 \rightarrow 200 \rightarrow 250$ . Εδώ σταματάει γιατί ο επόμενος όρος δεν είναι ακέραιος. Για p=7

παίρνουμε $128\rightarrow 224 \rightarrow 392 \rightarrow 686$ . Εδώ σταματάει. Για p=9

δίνει $128\rightarrow 288 \rightarrow 648$ . Για p=11

δίνει $128\rightarrow 352 \rightarrow 968$ (που είναι κοντά στην απάντηση, γι' αυτό και δεν μπορούμε να αποφύγουμε την περιπτωσιολογία). Τα μεγαλύτερα

αποκλείονται γιατί δεν δίνουν τρεις όρους.

- Για q=8

. Για

παίρνουμε $128\rightarrow 144 \rightarrow 162$ και μετά είναι κλάσμα. Για p=11

παίρνουμε $128\rightarrow 176 \rightarrow 242$ . Για p=13

παίρνουμε $128\rightarrow 208 \rightarrow 338$ . Όμοια οι περιπτώσεις $p=15,\, p=17\, p=19,\, p=21$ (δεν τις γράφω για οικονομία αλλά μπορεί να ελέγξει κανείς). Τα πιο μεγάλα

δίνουν μόνο δύο όρους.

- Για q=16

ή

δεν χρειάζεται να τα δούμε γιατί ο τρίτος όρος έχει στον παρανομαστή όρο τουλάχιστον (2^4)^3 > 2^8

, και άρα δεν είναι ακέραιος.

Ουφ.

#3

Παρόμοιο αλλά νομίζω κάπως πιο σύντομο.

Αν ο

(στη λύση του Μιχάλη) είναι δύναμη του

, τότε και ο αριθμός μας είναι δύναμη του

άρα το μέγιστο θα ήταν 512

.

Έστω λοιπόν

περιττός πρώτος ο οποίος διαιρεί τον

. Τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του r^3

.

Αν

, τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του

και για να είναι μεγαλύτερος του 972

πρέπει να είναι ίσος με 972 +27 = 999

. Αυτό είναι άτοπο διότι 37|999

αλλά $37^3 \nmid 999$ .

Αν r=5

, τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του 125

και ο μεγαλύτερος τέτοιος τριψήφιος είναι ο 875

.

Αν

, τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του 343

και ο μεγαλύτερος τέτοιος τριψήφιος είναι ο 686

.

Αν $r \geqslant 11$ τότε δεν υπάρχει τέτοιος τριψήφιος.

Τριψήφια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος

Τριψήφια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος

Re: Τριψήφια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος

Re: Τριψήφια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση