Φτάσαμε στα άκρα

KARKAR · #1

: Φτάσαμε στα άκρα.png (11 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

Στο ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

, είναι :

και $DC=\dfrac{AD}{2}$ .

Οι διαγώνιοί του τέμνονται στο σημείο

και

είναι η προβολή του

, στην

.

Υπολογίστε : α) το ελάχιστο μήκος της πλευράς

.

β) Το μέγιστο μήκος του τμήματος

.

γ) Το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου CSTB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 17, 2021 12:40 pm
Φτάσαμε στα άκρα.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο , είναι : και $DC=\dfrac{AD}{2}$ .

Οι διαγώνιοί του τέμνονται στο σημείο και είναι η προβολή του , στην .

Υπολογίστε : α) το ελάχιστο μήκος της πλευράς .

β) Το μέγιστο μήκος του τμήματος .

γ) Το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Τα (α), (β) θα μπορούσαν να είναι και ερωτήματα Πανελληνίων με οδυνηρά αποτελέσματα. Το (γ) δεν ενδείκνυται γιατί

απαιτεί χρήση λογισμικού. Με

προβολή του

στην

και

είναι

και

: Φτάσαμε στα άκρα.png (10.75 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

α) Π.Θ στο LBC,

$\displaystyle B{C^2} = 4{x^2} + {(10 - 3x)^2} = 13{x^2} - 60x + 100,$ που κατά τα γνωστά

έχει για $\boxed{ x = \frac{{30}}{{13}}}$ ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{ B{T_{\min }} = \frac{{20\sqrt {13} }}{{13}}}$

β) $\displaystyle \frac{{AS}}{{CS}} = \frac{{10 - 2x}}{x} \Leftrightarrow \frac{{AS}}{{AC}} = \frac{{10 - 2x}}{{10 - x}} \Leftrightarrow \frac{{ST}}{{2x}} = \frac{{10 - 2x}}{{10 - x}} \Leftrightarrow ST = f(x) = \frac{{4x(5 - x)}}{{10 - x}}$

$\displaystyle f'(x) = \frac{{4({x^2} - 20x + 50)}}{{{{(10 - x)}^2}}}$ και έχουμε $\boxed{ S{T_{\max }} = 20(3 - 2\sqrt 2 )}$ για $\boxed{ x = 5(2 - \sqrt 2 )}$

γ) Ακολουθώντας παρόμοια διαδικασία και επειδή $\displaystyle (CSTB) = (CAB) - (SAT),$ βρίσκω:

$\displaystyle (CSTB) = x(10 - 2x) - {\left( {\frac{{10x - 2{x^2}}}{{10 - x}}} \right)^2},$ όπου με χρήση λογισμικού παίρνω για

$\boxed{x\simeq 2,2256}$ μέγιστη τιμή $\boxed{{(CSTB)_{\max }} \simeq 9,8262}$

Φτάσαμε στα άκρα

Φτάσαμε στα άκρα

Re: Φτάσαμε στα άκρα

Μέλη σε σύνδεση