Διάμεσος ειδικού τριγώνου

#1

είναι το ορθόκεντρο οξυγωνίου τριγώνου ABC

εγγεγραμμένου σε κύκλο (O, R).

Αν τα τρίγωνα

AHO, BOC

είναι όμοια, να υπολογίσετε συναρτήσει του

τη διάμεσο

του τριγώνου ABC.

Το σχήμα κατ' εξαίρεση δεν δίνεται

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 07, 2026 11:40 am
είναι το ορθόκεντρο οξυγωνίου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο Αν τα τρίγωνα

είναι όμοια, να υπολογίσετε συναρτήσει του τη διάμεσο του τριγώνου

Το σχήμα κατ' εξαίρεση δεν δίνεται

Γεια σου Γιώργο βιάζομαι λίγο γιατί θα πάω στο γήπεδο , οπότε αν υπάρχουν ,τυπογραφικά λάθη τα διορθώνω αύριο

Ο κόκκινος κύκλος $\Omega$ είναι ο κυκλος του Euler

και η ευθεία

η ευθεία του Euler

και

ισχύουν HG=2GO

Από τα όμοια τρίγωνα

$AHO,BOC,AH=\dfrac{R^{2}}{a}, OM=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{R^{2}}{2a}, \Rightarrow \dfrac{R}{a}=\sqrt{2+\sqrt{3}} ,\sqrt{2-\sqrt{3}},$ $HG+GO=HA=\dfrac{R^{2}}{a}\Rightarrow OG^{2}=\dfrac{R^{2}}{9}(2+\sqrt{3}),$

Στο τρίγωνο

$AMO,AG.OM^{2}+GM.OA^{2}=AM(OG^{2}+AG.GM)\Rightarrow m_{a}=\dfrac{R\sqrt{2}}{4}\sqrt{10-\sqrt{3}}$

OMB $R^{2}=\dfrac{R^{4}}{4a^{2}}+\dfrac{a^{2}}{4}$

abgd · #3

: deid.png (61.34 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

Με τριγωνομετρία μπορούμε να υπολογίσουμε τις γωνίες του τριγώνου και συνεπώς και τις πλευρές του συναρτήσει του

.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ADC

οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες με $\omega+\phi$ οπότε $\omega+\phi=45^o$

Σημειώνουμε στο σχήμα τις γωνίες που είναι $\omega$ και $\phi$ .

Στο ισοσκελές AHO

είναι

$2AHcos\phi=R \bf (1)$

Στο τρίγωνο AHB

είναι $AB=R\sqrt{2}$ , η γωνία AHB

είναι

και από το νόμο των ημιτόνων έχουμε:

$AH =2Rsin\phi \bf(2)$

Από τις $\bf (1),(2)$ προκύπτει ότι $\phi=15^o$ οπότε $\omega=30^o$

Έτσι, θα είναι: $A=75^o,\ \ B=60^o, \ \ C=45^o$

Από των νόμο των ημιτόνων στο ABC

βρίσκουμε τις πλευρές του:

$\boxed{a=R\sqrt{2+\sqrt{3}}, \ \ b=R\sqrt{3}, \ \ c=R\sqrt{2}}$

Τέλος από το 1ο θεώρημα διαμέσων την διάμεσο

$\mu_a=\dfrac{R}{2}\sqrt{8-\sqrt{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 07, 2026 11:40 am
είναι το ορθόκεντρο οξυγωνίου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο Αν τα τρίγωνα

είναι όμοια, να υπολογίσετε συναρτήσει του τη διάμεσο του τριγώνου

Το σχήμα κατ' εξαίρεση δεν δίνεται

Από τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα AHO,OBC

έχουμε την ισότητα των γωνιών $\theta$ ,,συνεπώς το AODB

είναι εγγράψιμμο ,

άρα $\angle AOB=90^0 \Rightarrow \angle ACB= \angle AEB=45^0 \Rightarrow \angle EAC=45^0$ (και c^2=2R^2

)

Επομένως ABEC

ισοσκελές τραπέζιο ,οπότε AB=EC=c

.Ακόμη $\dfrac{AH}{R} = \dfrac{R}{a} \Rightarrow AH= \dfrac{R^2}{a}$

Επειδή $\angle BHE=45^0$ και οι μπλε γωνίες $\phi$ είναι ίσες,τελικά όλες οι κόκκινες γωνίες $\theta$ είναι ίσες,

άρα $\triangle ABH= \triangle EZC \Rightarrow EZ=AH= \dfrac{R^2}{a}$

Με Πτολεμαίο στο ισοσκελές τραπέζιο $BCZE \Rightarrow a.EZ+x^2=(R \sqrt{2})^2 \Rightarrow a. \dfrac{R^2}{a} +x^2=2R^2 \Rightarrow x=R$

Έτσι $\angle CZO=60^0 \Rightarrow b=R \sqrt{3}$ .Ακόμη $\angle BOC=150^0$ κι από ν.συνημιτόνου στο $\triangle BOC \Rightarrow a^2=R^2(2+ \sqrt{3})$

Τώρα από $\mu _{α} ^2= \dfrac{2(b^2+c^2)-a^2}{4} \Rightarrow \mu _{a} = \dfrac{R}{2}( \sqrt{8- \sqrt{3} } )$

: Διάμεσος ειδικού τριγώνου.png (41.92 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

#5

Όταν κατασκεύασα την άσκηση, είχα κατά νου την πλήρη διερεύνηση γι' αυτό και σκοπίμως
δεν έδωσα το σχήμα για να μην επηρεαστούν οι λύτες. Σαφώς και το τρίγωνο AHO

είναι
ισοσκελές. Εδώ εξετάστηκε η περίπτωση AH=HO.

Τι συμβαίνει όμως αν α) ή β) Έχουμε άραγε άλλη λύση ή απορρίπτονται;

abgd · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 10, 2026 1:49 pm
Όταν κατασκεύασα την άσκηση, είχα κατά νου την πλήρη διερεύνηση γι' αυτό και σκοπίμως
δεν έδωσα το σχήμα για να μην επηρεαστούν οι λύτες. Σαφώς και το τρίγωνο είναι
ισοσκελές. Εδώ εξετάστηκε η περίπτωση

Τι συμβαίνει όμως αν α) ή β) Έχουμε άραγε άλλη λύση ή απορρίπτονται;

Γιώργο... σωστή η παρατήρηση. Έπρεπε να αναφερθεί στις παραπάνω λύσεις ότι οι περιπτώσεις που αναφέρεις απορρίπτονται.

Εφόσον το τρίγωνο είναι οξυγώνιο τα σημεία O, H

είναι εσωτερικά σημεία του τριγώνου.

Έτσι θα είναι OH<R

, οπότε η δεύτερη περίπτωση απορρίπτεται.

Επίσης, αν ήταν AH=R

, θα έπρεπε η γωνία OAH

να είναι ίση με την BOC

κάτι αδύνατο,

αφού BOC=2A>A>OAH

.

#7

abgd έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 10, 2026 2:17 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 10, 2026 1:49 pm
Όταν κατασκεύασα την άσκηση, είχα κατά νου την πλήρη διερεύνηση γι' αυτό και σκοπίμως
δεν έδωσα το σχήμα για να μην επηρεαστούν οι λύτες. Σαφώς και το τρίγωνο είναι
ισοσκελές. Εδώ εξετάστηκε η περίπτωση

Τι συμβαίνει όμως αν α) ή β) Έχουμε άραγε άλλη λύση ή απορρίπτονται;
Γιώργο... σωστή η παρατήρηση. Έπρεπε να αναφερθεί στις παραπάνω λύσεις ότι οι περιπτώσεις που αναφέρεις απορρίπτονται.

Εφόσον το τρίγωνο είναι οξυγώνιο τα σημεία είναι εσωτερικά σημεία του τριγώνου.

Έτσι θα είναι , οπότε η δεύτερη περίπτωση απορρίπτεται.

Επίσης, αν ήταν , θα έπρεπε η γωνία να είναι ίση με την κάτι αδύνατο,

αφού .

Έτσι ακριβώς Κώστα

#8

Η παρούσα άσκηση προέκυψε από την παρατήρηση ότι, αν

είναι το ορθόκεντρο,

το περίκεντρο και

η ακτίνα

του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ABC

, τότε ισχύει η ισοδυναμία $\boxed{AH=HO\Leftrightarrow b^2+c^2=5R^2}$

Διάμεσος ειδικού τριγώνου

Διάμεσος ειδικού τριγώνου

Re: Διάμεσος ειδικού τριγώνου

Re: Διάμεσος ειδικού τριγώνου

Re: Διάμεσος ειδικού τριγώνου

Re: Διάμεσος ειδικού τριγώνου

Re: Διάμεσος ειδικού τριγώνου

Re: Διάμεσος ειδικού τριγώνου

Re: Διάμεσος ειδικού τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση