Ανεξερεύνητος τόπος

KARKAR · #1

: Ανεξερεύνητος τόπος.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές

Από σημείο

, το οποίο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου AOB=2r

ενός ημικυκλίου ,

φέρουμε την εφαπτομένη

, επί της οποίας θεωρούμε σημείο

τέτοιο ώστε : ST=SA

.

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του

.

Καρτεσιανή προσέγγιση επιθυμητή .Το θέμα είναι "υπό διερεύνηση " .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 25, 2025 6:27 am
Ανεξερεύνητος τόπος.pngΑπό σημείο , το οποίο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου ,

φέρουμε την εφαπτομένη , επί της οποίας θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε : .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Καρτεσιανή προσέγγιση επιθυμητή .Το θέμα είναι "υπό διερεύνηση " .

.

: ανεξ τοπ.png (20.56 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές

.
Χωρίς τις πράξεις.

Χωρίς βλάβη, r=1

. Με αρχή των αξόνων το

, είναι $P(cos \theta, \, \sin \theta)$ . Από το ορθογώνιο τρίγωνο OPS

είναι $OP^2=OC\cdot OS$ , οπότε $OS= \dfrac {1}{\cos \theta}$ , δηλαδή $S\left (\dfrac {1}{\cos \theta}, \, 0\right)$ .

To

είναι στην τομή του κύκλου κέντρου

και ακτίνας $AS= AO+OS=1+ \dfrac {1}{\cos \theta}$ και της ευθείας

. Οι εξισώσεις αυτών είναι

$\left ( x- \dfrac {1}{\cos \theta} \right)^2+y^2= \left ( 1+ \dfrac {1}{\cos \theta} \right)^2$ και $y= -\dfrac {\sin \theta }{\cos \theta } \left ( x- \dfrac {1}{\cos \theta} \right)$

Λύνοντας ως προς x,y

θα βρούμε $\boxed { x=\dfrac {1-\sin\theta - \sin\theta \cos\theta}{\cos \theta}, \, y= 1+\cos \theta}$ . Αυτή είναι η παραμετρική μορφή του τόπου (η κόκκινη γραμμή). Αν θέλουμε Καρτεσιανή μορφή, διώχνουμε το $\theta$ . Αν έκανα σωστά τις πράξεις, θα βρούμε

$\boxed {(1-xy+x)^2+(-2+y)y^3=0 }$

Δεν την αναγνωρίζω ως κάποια γνωστή καμπύλη.

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 25, 2025 6:27 am
Από σημείο , το οποίο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου ,

φέρουμε την εφαπτομένη , επί της οποίας θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε : .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Καρτεσιανή προσέγγιση επιθυμητή .Το θέμα είναι "υπό διερεύνηση " .

Μιχάλη τα χαιρετίσματά μου από τα Γρεβενά...

Αναρτώ κι εγώ το όμορφο σχήμα του γεωμετρικού αυτού τόπου καθώς

και το αντίστοιχο δυναμικό του.

: Ανεξερεύνητος γεωμ. τόπος 1.png (15.74 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές

Κι εγώ βρήκα την παραμετρική εξίσωση της καμπύλης αυτής η οποία είναι η κάτωθι:

$\displaystyle{x(t)=\frac{r}{cost}-(\frac{r}{cost}+r)sint,\\ y(t)=r+rcost}$

όπου $\displaystyle{t\in [0,\frac{\pi}{2}) }$

Για το λόγο αυτό, έχω σημειώσει το ένα σημείο ανοιχτό!

Δυναμικό αρχείο: https://www.geogebra.org/m/wgksgz8y

Κώστας Δόρτσιος

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 25, 2025 6:27 am
Από σημείο , το οποίο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου ,

φέρουμε την εφαπτομένη , επί της οποίας θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε : .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Καρτεσιανή προσέγγιση επιθυμητή .Το θέμα είναι "υπό διερεύνηση " .

Καλημέρα....

Μελετώντας την παραμετρική εξίσωση που έγραψα και απαλείφοντας τη γωνία και βέβαια
με την προϋπόθεση ότι $\displaystyle{r=1}$ καταλήγουμε στην πεπλεγμένη μορφή της καμπύλης αυτής
η οποία είναι:

$\displaystyle{(1+x-xy)^2+y^3(y-2)=0 , \ \ x,y \in R }$

και η οποία έχει τη γενικότερη μορφή, όπως αυτή του σχήματος:

: Ανεξερεύνητος γεωμ. τόπος 2.png (15.02 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές

Παρατηρούμε ότι ο προηγούμενος γ. τόπος $\displaystyle{T_1T_2}$ είναι μέρος του γραφήματος της

καμπύλης αυτής η οποία έχει δυο "επ' άπειρον" σημεία.

Κώστας Δόρτσιος

Ανεξερεύνητος τόπος

Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Re: Ανεξερεύνητος τόπος

Μέλη σε σύνδεση