Ακρότητες

KARKAR · #1

: Ακρότητες.png (18.66 KiB) Προβλήθηκε 1051 φορές

Σημείο

κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας

. Η

τέμνει το ημικύκλιο

διαμέτρου

στο σημείο

. α) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου STA

.

β) ( Προαιρετικό ) : Μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο του γινομένου : $SA \cdot ST$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 13, 2025 6:38 am
Ακρότητες.pngΣημείο κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας . Η τέμνει το ημικύκλιο

διαμέτρου στο σημείο . α) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

β) ( Προαιρετικό ) : Μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο του γινομένου : $SA \cdot ST$ ;

α) Αν θέσουμε $\widehat {SOA}=\theta$ τότε

$(STA)=(OSA)-(OTA)= \dfrac {R^2}{2}\sin \theta = \dfrac {R\cdot OT}{2}\sin \theta = \dfrac {R^2}{2}(\sin \theta- \sin ^2 \theta) =$

$=\dfrac {R^2}{2}\sin \theta (1- \sin \theta) \le \dfrac {R^2}{2} \cdot \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{2}= \dfrac {R^2}{8}$ με ισότητα όταν $\sin \theta = \dfrac {1}{2}$ , δηλαδή $\theta = 30^o$ .

Το β) ερώτημα είναι

$SA\cdot ST = SA\cdot (R-OT) = 2R \sin \dfrac {\theta}{2} \left (R-R \sin \theta \right )$

Για το μέγιστο αυτού οι πράξεις, με χρήση παραγώγων, φαίνονται πολλές, οπότε μάλλον πάμε με λογισμικό. Το αφήνω.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 13, 2025 6:38 am
Ακρότητες.pngΣημείο κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας . Η τέμνει το ημικύκλιο

διαμέτρου στο σημείο . α) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

β) ( Προαιρετικό ) : Μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο του γινομένου : $SA \cdot ST$ ;

: Ακρότητες.png (17.88 KiB) Προβλήθηκε 1033 φορές

Eustathia p. · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 13, 2025 6:38 am
Ακρότητες.pngΣημείο κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας . Η τέμνει το ημικύκλιο

διαμέτρου στο σημείο . α) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

β) ( Προαιρετικό ) : Μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο του γινομένου : $SA \cdot ST$ ;

Επειδή $OA = OB = r\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\theta = {\theta _1}$ ( χορδής κι εφαπτομένης ) θα είναι : $\vartriangle DOA = \vartriangle TBO$ συνεπώς , x = h

.

: Ακρότητες_Ανάλυση.png (21.93 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

$\boxed{\left( {TAS} \right) = \frac{1}{2}h \cdot TS = \frac{1}{2}\left( {r - x} \right)x \leqslant \frac{1}{2}\left( {r - \frac{r}{2}} \right)\frac{r}{2} = \frac{{{r^2}}}{8}}$ όταν , $\boxed{x = \frac{r}{2}}$

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 13, 2025 7:49 am

Το β) ερώτημα είναι

$SA\cdot ST = SA\cdot (R-OT) = 2R \sin \dfrac {\theta}{2} \left (R-R \sin \theta \right )$

Για το μέγιστο αυτού οι πράξεις, με χρήση παραγώγων, φαίνονται πολλές, οπότε μάλλον πάμε με λογισμικό. Το αφήνω.

Για να κλείνει, αλλά με χρήση λογισμικού: Θέλουμε το μέγιστο της $\sin \dfrac {\theta}{2} \left (1-\sin \theta \right )$ . Έχει παράγωγο

$\sin ^3 \dfrac {\theta}{2} -2\sin \dfrac {\theta}{2} + \dfrac {1}{2} \cos \dfrac {\theta}{2}$

οπότε μηδενίζεται (σύμφωνα με το λογισμικό) όταν $\theta =2 \arctan\dfrac { \sqrt{17} -3}{4} \approx 31,36^o$ .

Η τιμή του ζητούμενου μεγίστου είναι $\approx 0,26 R^2$ .

Ακρότητες

Ακρότητες

Re: Ακρότητες

Re: Ακρότητες

Re: Ακρότητες

Re: Ακρότητες

Μέλη σε σύνδεση