Διπλασιασμός

KARKAR · #1

: Διπλασιασμός.png (10.08 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Υπολογίστε το τμήμα BS=x

της προέκτασης της

, ώστε : $\widehat{BCS}=2\widehat{BSC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 25, 2025 11:29 am
Διπλασιασμός.pngΥπολογίστε το τμήμα της προέκτασης της , ώστε : $\widehat{BCS}=2\widehat{BSC}$ .

$BC=\sqrt{250}$ και λόγω της σχέσης των γωνιών στο τρίγωνο CBS

θα είναι:

$\displaystyle {x^2} = B{C^2} + BC \cdot CS \Leftrightarrow {x^2} - 250 = \sqrt {250\left( {{{(9 + x)}^2} + 169} \right)}$

: Διπλασιασμός.ΚΑR..png (8.89 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές

Υψώνω στο τετράγωνο με το περιορισμό $x>\sqrt{250}$ και καταλήγω στην x^3-750x-4500=0,

απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{x=30}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 25, 2025 11:29 am
Διπλασιασμός.pngΥπολογίστε το τμήμα της προέκτασης της , ώστε : $\widehat{BCS}=2\widehat{BSC}$ .

.
Από το τρίγωνο ABC

είναι $\tan (3\theta)= \dfrac {13}{9}$ . Ισοδύναμα $\dfrac {3 \tan \theta - \tan ^3 \theta}{1-3\tan ^2 \theta}= \dfrac {13}{9}$ , ή αλλιώς

$9 \tan ^3 \theta -39 \tan ^2 \theta -27 \tan \theta +13=0$ , ισοδύναμα $(3 \tan \theta -1)(3\tan ^2\theta -12 \tan \theta -13)=0$

Άρα $\tan \theta = \dfrac {1}{3}$ ή $2\pm \dfrac {5}{3} \sqrt 3$ . Κρατάμε την πρώτη γιατί θέλουμε $3\theta$ οξεία.

Tώρα, από το ASB

έχουμε $\dfrac {13}{9+x} = \tan \theta = \dfrac {1}{3}$ , οπότε $\boxed {x=30}$ .

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος όσο έγραφα. Το αφήνω για τον κόπο.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 25, 2025 11:29 am
Διπλασιασμός.pngΥπολογίστε το τμήμα της προέκτασης της , ώστε : $\widehat{BCS}=2\widehat{BSC}$ .

Γράφω το βόρειο ημικύκλιο $\left( {B,x} \right)$ . Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

και

η τομή του ημικυκλίου με την

.

Προφανές ότι $DC = CB = \sqrt {{{13}^2} + {9^2}} = \sqrt {250} = 5\sqrt {10}$ . Ισχύει , $\vartriangle DTS \approx \vartriangle CAS$ γιατί το τετράπλευρο ACDT

είναι εγγράψιμο.

Θέτω : $CS = z\,,\,\,TD = y$ . Από Π. Θ. στο $\vartriangle ASC$ και την πιο πάνω ομοιότητα , ισχύουν :

: Διπλασιασμός.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

$\left\{ \begin{gathered} z = \sqrt {{{13}^2} + {{\left( {x + 9} \right)}^2}} \hfill \\ z\left( {z + 5\sqrt {10} } \right) = 2x\left( {x + 9} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} z = \sqrt {{x^2} + 18x + 250} \,\,\left( 1 \right) \hfill \\ z\left( {z + 5\sqrt {10} } \right) = 2x\left( {x + 9} \right)\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

( Την $\left( 2 \right)$ μπορούμε να την πάρουμε και από τη δύναμη του σημείου ,

, ως προς τον κύκλο $\left( {A,C,D,T} \right)$ )

Από τις $\left( 1 \right)\,\,,\,\,\left( 2 \right)$ προκύπτει : $5\sqrt {10} \sqrt {{x^2} + 18x + 250} - {x^2} + 250 = 0$ με ρίζες : $x = - 15 - 5\sqrt 3$ απορρίπτεται ή $\boxed{x = 30}$ δεκτή .

Διπλασιασμός

Διπλασιασμός

Re: Διπλασιασμός

Re: Διπλασιασμός

Re: Διπλασιασμός

Μέλη σε σύνδεση