Αίφνης τετράγωνο

KARKAR · #1

: Αίφνης τετράγωνο.png (13.9 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές

Οι

είναι οι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου ABC

και τα

οι προβολές των ιχνών τους στην υποτείνουσα . Με τις κάθετες από τα D' , E' ,

προς τις

αντίστοιχα , δημιουργούμε το τετράπλευρο APST

, το οποίο καλείσθε

να δείξετε ότι είναι τετράγωνο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 03, 2025 2:27 pm
Αίφνης τετράγωνο.pngΟι είναι οι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου

και τα οι προβολές των ιχνών τους στην υποτείνουσα . Με τις κάθετες από τα

προς τις αντίστοιχα , δημιουργούμε το τετράπλευρο , το οποίο καλείσθε

να δείξετε ότι είναι τετράγωνο .

Το

είναι εκ κατασκευής ορθογώνιο. Θα δείξω ότι AP=AT.

: Αίφνης τετράγωνο.png (15.37 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές

$\displaystyle A{D^2} = {(DD')^2} = DP \cdot DC \Leftrightarrow \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{{(a + c)}^2}}} = DP\frac{{ab}}{{a + c}} \Leftrightarrow DP = \frac{{b{c^2}}}{{a(a + c)}}$

$\displaystyle AP = AD + DP = \frac{{bc}}{{a + c}} + \frac{{b{c^2}}}{{a(a + c)}} \Leftrightarrow AP = \frac{{bc}}{a}.$ Ομοίως αποδεικνύω ότι $AT=\dfrac{bc}{a}.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 03, 2025 2:27 pm
Αίφνης τετράγωνο.pngΟι είναι οι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου

και τα οι προβολές των ιχνών τους στην υποτείνουσα . Με τις κάθετες από τα

προς τις αντίστοιχα , δημιουργούμε το τετράπλευρο , το οποίο καλείσθε

να δείξετε ότι είναι τετράγωνο .

Με $SP \cap BD=L$ και $ST \cap CE=Q$ τα τρίγωνα BD'L,QE'C

είναι ισοσκελή κι επειδή BD’=BA , CE’=CA

προφανώς

είναι ρόμβοι

Έτσι το έγκεντρο

του τριγώνου ABC

είναι περίκεντρο του τριγώνου AE'D'

,συνεπώς $\angle E'ID'=90^0 \Rightarrow ID'SE'$

εγγράψιμμο ,άρα οι ροζ γωνίες είναι ίσες με

Αλλά $\angle AID’= 2\angle AE'C= 180^0-C\Rightarrow A,I,S$ συνευθειακά

Tο TPSA

είναι λοιπόν ορθογώνιο με $\angle SAP=45^0$ ,άρα τετράγωνο

: τετράγωνο.png (64.77 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές

Αίφνης τετράγωνο

Αίφνης τετράγωνο

Re: Αίφνης τετράγωνο

Re: Αίφνης τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση