Επαμφοτερίζων λόγος

KARKAR · #1

: Επαμφοτερίζων λόγος.png (7.09 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές

Σημείο

κινείται στην ημιευθεία $y=\dfrac{1}{2}x$ , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο . Μελετούμε το λόγο $\dfrac{SO}{SA}$ .

Πότε ο λόγος γίνεται μέγιστος ; Πότε ο λόγος γίνεται ίσος με

; Σχεδιάστε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ,

η οποία να αποδίδει τον λόγο αυτό .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 15, 2025 6:54 am
Επαμφοτερίζων λόγος.pngΣημείο κινείται στην ημιευθεία $y=\dfrac{1}{2}x$ , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο . Μελετούμε το λόγο $\dfrac{SO}{SA}$ .

Πότε ο λόγος γίνεται μέγιστος ; Πότε ο λόγος γίνεται ίσος με ; Σχεδιάστε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ,

η οποία να αποδίδει τον λόγο αυτό .

To

είναι της μορφής S(2t,t)

. Οπότε $\dfrac{SO}{SA}= \dfrac{\sqrt {4t^2+t^2}}{\sqrt {(2t-6)^2+t^2}} = \dfrac{\sqrt {5}t}{\sqrt {5t^2-24t+36}}$ .

Οπότε ο λόγος ισούται με 2 όταν $\dfrac{5t^2}{5t^2-24t+36}=4$ , που δίνει $t= \dfrac {12}{5}$ ή t=4

(δύο τιμές, που αιτιολογούν τον τίτλο).

Το μέγιστο μποτρεί να βρεθεί με παραγώγιση ή με χρήση ανισοτήτων αλλά ας δούμε έναν πιο σβέλτο τρόπο: Από τον Νόμο των Hμιτόνων

$\dfrac{SO}{SA}= \dfrac{\sin A}{\sin O}$ . Το $\sin O$ είναι σταθερό (εύκολα μπορούμε να το βρούμε: $\dfrac {\sqrt 5}{5}$ αλλά δεν θα χρειαστεί για το μέγιστο). To (ολικό) μέγιστο το λαμβάνουμε όταν A=90^o

. Είναι τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο που προκύπτει S(6,3)

και άρα $\dfrac{SO}{SA}= \dfrac{\sqrt {3^2+6^2}}{3}=\sqrt 5$ .

Το γράφημα κατά Geogebra δίνεται παρακάτω. Πάντως εύκολα μπορούμε να το σχεδιάσουμε: Το μέγιστο το ξέρουμε και έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y=1

.
,

Επαμφοτερίζων λόγος

Επαμφοτερίζων λόγος

Re: Επαμφοτερίζων λόγος

Μέλη σε σύνδεση