Γωνίες σε σχέση

KARKAR · #1

: Γωνίες σε σχέση.png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

Το σημείο

κινείται στην κάθετη στο άκρο

της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου .

Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

και το

. Βρείτε - αν υπάρχει - κάποια σχέση

μεταξύ των γωνιών : $\phi , \theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 18, 2024 12:16 pm
Γωνίες σε σχέση.pngΤο σημείο κινείται στην κάθετη στο άκρο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου .

Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα και το . Βρείτε - αν υπάρχει - κάποια σχέση

μεταξύ των γωνιών : $\phi , \theta$ .

Νόμος ημιτόνων στο SAB,

$\displaystyle \frac{{\sin \varphi }}{{SA}} = \frac{{\sin \theta }}{x} = \frac{{\sin (\theta + \varphi )}}{{\sqrt {4{R^2} + {x^2}} }} \Rightarrow \frac{{{{\sin }^2}\varphi }}{{S{A^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{{x^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}(\theta + \varphi )}}{{4{R^2} + {x^2}}}$

$\displaystyle = \frac{{{{\sin }^2}(\theta + \varphi ) - {{\sin }^2}\theta }}{{4{R^2}}} = \frac{{\sin \varphi \cdot \sin (2\theta + \varphi )}}{{4{R^2}}},$ απ' όπου $\boxed{{x^2} = \frac{{4{R^2}{{\sin }^2}\theta }}{{\sin \varphi \cdot \sin (2\theta + \varphi )}}}$ (1)

και $\displaystyle S{A^2} = \frac{{4{R^2}\sin \varphi }}{{\sin (2\theta + \varphi )}} \Rightarrow$ $\boxed{S{O^2} = 4{R^2} - S{A^2} = 4{R^2}\left( {1 - \frac{{\sin \varphi }}{{\sin (2\theta + \varphi )}}} \right)}$ (2)

: Γωνίες σε σχέση.png (19.98 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές

Θεώρημα Πτολεμαίου στο OKSB,

$\displaystyle 2Rx = SO \cdot BK\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} 4{R^2}{x^2} = 4{R^2}\left( {1 - \frac{{\sin \varphi }}{{\sin (2\theta + \varphi )}}} \right)({x^2} + {R^2}) \Leftrightarrow$

$\displaystyle {x^2} = \frac{{\sin (2\theta + \varphi ) - sin\varphi }}{{\sin \varphi }}{R^2} = \frac{{2{R^2}\sin \theta \cdot \cos (\theta + \varphi )}}{{\sin \varphi }}$ και από την (1)

είναι

$\displaystyle \frac{{4{R^2}{{\sin }^2}\theta }}{{\sin \varphi \sin (2\theta + \varphi )}} = \frac{{2{R^2}\sin \theta \cdot \cos (\theta + \varphi )}}{{\sin \varphi }} \Leftrightarrow 4\sin \theta = 2\sin (2\theta + \varphi )\cos (\theta + \varphi )$

$\displaystyle 4\sin\theta = \sin (3\theta + 2\varphi ) + sin\theta \Leftrightarrow$ $\boxed{ 3\sin \theta = \sin (3\theta + 2\varphi )}$

Δεν ξέρω ποια σχέση έχει στο μυαλό του ο Θανάσης

Γωνίες σε σχέση

Γωνίες σε σχέση

Re: Γωνίες σε σχέση

Μέλη σε σύνδεση