Όχι στα άκρα , ναι στα ακρότατα

KARKAR · #1

: Όχι στα άκρα , ναι στα ακρότατα.png (16.23 KiB) Προβλήθηκε 1053 φορές

Στη διάμετρο AB=2r

, ενός ημικυκλίου κινείται σημείο

. Γράφουμε τον κύκλο ( K , KB)

και φέρουμε το

εφαπτόμενο τμήμα

, το οποίο προεκτεινόμενο τέμνει το ημικύκλιο στο

. Υπολογίστε το $(AS\cdot ST)_{max}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 08, 2023 1:43 pm
Στη διάμετρο , ενός ημικυκλίου κινείται σημείο . Γράφουμε τον κύκλο και φέρουμε το

εφαπτόμενο τμήμα , το οποίο προεκτεινόμενο τέμνει το ημικύκλιο στο . Υπολογίστε το $(AS\cdot ST)_{max}$ .

Φέρνουμε $KP\perp BT$ , οπότε ST=KP=b

. Αν

τότε από τα όμοια τρίγωνα KBP, AKS

έχουμε $\dfrac {KP}{KB}= \dfrac {AS}{AK}$ , ή αλλιώς $\dfrac {b}{x}= \dfrac {a}{2r-x}\, (*)$ . Επίσης, από την δύναμη του σημείου

έχουμε $a^2=AS^2 = 2r(2r-2x)\, (**)$ . Άρα

$AS \cdot AK = ab=^{(*)} a\cdot \dfrac {ax}{2r-x}=^{(**)} \dfrac {2r(2r-2x)x}{2r-x}$

Με παραγώγιση η παράσταση έχει μέγιστο (μετά από πράξεις ρουτίνας) αν 2r^2-4rx+x^2=0

. Κρατάμε την ρίζα $x=(2-\sqrt 2)r$ . Οπότε η τιμή του μεγίστου είναι

$\dfrac {2r(2r-2(2-\sqrt 2)r) {\color {red}(2-\sqrt 2)r}}{2r-(2-\sqrt 2)r}={\color {red}4 (3-2\sqrt 2)r^2}$

Edit αργότερα: Διόρθωσα αβλεψία μου. Βλέπε το παρακάτω ποστ. Τις ευχαριστίες μου στον θεματοθέτη Θανάση.
.

KARKAR · #3

Έξοχη αντιμετώπιση από τον "μαέστρο" Μιχάλη ( χρόνια πολλά για χτες ! )

Στο τελευταίο , πάντως , βήμα ξεχάστηκε ένα

και προέκυψε μη ορθό αποτέλεσμα .

Νομίζω ότι το σωστό είναι : $(AS\cdot ST)_{max}=4r^2(3-2\sqrt{2})$ .

#4

Θανάση, ευχαριστώ για την επισήμανση, για τις ευχές και για τα καλά σου λόγια. Να 'σαι καλά.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 08, 2023 1:43 pm
Όχι στα άκρα , ναι στα ακρότατα.pngΣτη διάμετρο , ενός ημικυκλίου κινείται σημείο . Γράφουμε τον κύκλο και φέρουμε το

εφαπτόμενο τμήμα , το οποίο προεκτεινόμενο τέμνει το ημικύκλιο στο . Υπολογίστε το $(AS\cdot ST)_{max}$ .

Καταλήγω στην ίδια, φυσικά, συνάρτηση αλλά από άλλο δρόμο.

Έστω

το κέντρο του μεγάλου ημικυκλίου,

η ακτίνα του και

η ακτίνα του μικρού ημικυκλίου.

Είναι $\displaystyle AK = 2R - x,A{S^2} = 4{R^2} - 4Rx$

: Ναι στα ακρότατα.png (14.9 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές

Με $\rm Stewart$ στο ASK

βρίσκω, $\displaystyle O{S^2} = \frac{{2{R^3} - 5{R^2}x + 4R{x^2}}}{{2R - x}}.$

Αλλά, $\displaystyle AS \cdot ST = {R^2} - O{S^2} \Leftrightarrow f(x) = AS \cdot ST = \frac{{4Rx(R - x)}}{{2R - x}}$

Τα υπόλοιπα όπως ο Μιχάλης.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Κατά την μεγιστοποίηση είναι SO||TK.

Όχι στα άκρα , ναι στα ακρότατα

Όχι στα άκρα , ναι στα ακρότατα

Re: Όχι στα άκρα , ναι στα ακρότατα

Re: Όχι στα άκρα , ναι στα ακρότατα

Re: Όχι στα άκρα , ναι στα ακρότατα

Re: Όχι στα άκρα , ναι στα ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση