Μέγιστο για μερακλήδες

KARKAR · #1

: Μέγιστο για μερακλήδες.png (9.54 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με κάθετες πλευρές : AB=12 , AC=5

, η

είναι διχοτόμος .

Από σημείο

, το οποίο κινείται στο εσωτερικό του τμήματος

, φέρω παράλληλη προς την

,

η οποία τέμνει την υποτείνουσα

στο σημείο

και την προέκταση της πλευράς

στο σημείο

.

Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : $SP \cdot PT$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 13, 2021 11:13 am
Μέγιστο για μερακλήδες.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές : , η είναι διχοτόμος .

Από σημείο , το οποίο κινείται στο εσωτερικό του τμήματος , φέρω παράλληλη προς την ,

η οποία τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο και την προέκταση της πλευράς στο σημείο .

Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : $SP \cdot PT$

Πολύ ωραίο Θανάση!!!
Θα επανέλθω γιατί τώρα γράφει ο μικρός μας μαθητής !

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 13, 2021 11:13 am
Μέγιστο για μερακλήδες.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές : , η είναι διχοτόμος .

Από σημείο , το οποίο κινείται στο εσωτερικό του τμήματος , φέρω παράλληλη προς την ,

η οποία τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο και την προέκταση της πλευράς στο σημείο .

Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : $SP \cdot PT$

: Μέγιστο για μερακλήδες.png (10.45 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

Από Π.Θ προκύπτει ότι BC=13

Οι μπλε γωνίες είναι … προφανώς ίσες (λόγω παραλληλίας και διχοτόμου)
Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\vartriangle TCP$ θα έχουμε: $\dfrac{PT}{\sin \left( {{180}^{0}}-C \right)}=\dfrac{PC}{\sin \dfrac{C}{2}}\Rightarrow PT=\dfrac{PC\cdot \sin C}{\sin \dfrac{C}{2}}=2PC\cdot \cos \dfrac{C}{2}:\left( 1 \right)$
Και επίσης από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\vartriangle PSB$ θα είναι: $\dfrac{PS}{\sin B}=\dfrac{PB}{\sin \left( {{90}^{0}}+\dfrac{C}{2} \right)}\Rightarrow PS=\dfrac{PB\cdot \sin B}{\cos \dfrac{C}{2}}:\left( 2 \right)$
Από $\left( 1 \right)\cdot \left( 2 \right)\Rightarrow PT\cdot PS=2PC\cdot PB\cdot \sin B$ και επειδή $2\sin B$ είναι σταθερό η μεγιστοποίηση του $PT\cdot PS$ θα γίνει όταν μεγιστοποιηθεί το γινόμενο PC PB

πράγμα που θα συμβεί όταν $PC=PB=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{13}{2}$ αφού το άθροισμα PC+PB=BC=13=ct

και
$\max \left( PT\cdot PS \right)=2\cdot \dfrac{{{13}^{2}}}{{{2}^{2}}}\cdot \dfrac{5}{13}=\dfrac{65}{2}$

Μάλλον το άφησε ο μικρός γιατί θα πήγε με αναλυτική και τον "έφαγαν" οι "πραξούλες"

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 13, 2021 11:13 am
Μέγιστο για μερακλήδες.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές : , η είναι διχοτόμος .

Από σημείο , το οποίο κινείται στο εσωτερικό του τμήματος , φέρω παράλληλη προς την ,

η οποία τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο και την προέκταση της πλευράς στο σημείο .

Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : $SP \cdot PT$

Προφανώς το τρίγωνο CTP

είναι ισοσκελές γιατί

$\hat{T}=\hat{ACD}=\hat{DCB}= \hat{CPT},CT=CP=x,PB=13-x$

από τον τύπο της διχοτόμου είναι $CD=\delta _{c}=\dfrac{5}{3}\sqrt{13}$

$PS//CD\Rightarrow PS=\dfrac{5\sqrt{13}}{3}\dfrac{13-x}{13},(1), ST//DC\Rightarrow \dfrac{TP+PS}{DC}=\dfrac{5+x}{5} \Rightarrow PT=\dfrac{6x\sqrt{13}}{13},(2), (1),(2)\Rightarrow PS.PT=\dfrac{10x(13-x)}{13}=t\Leftrightarrow 10x^{2}-130x+13t=0, \Delta \geq 0\Leftrightarrow t\leq \dfrac{65}{2}\Rightarrow t_{max}=\dfrac{65}{2} ,x=\dfrac{13}{2}$

Μέγιστο για μερακλήδες

Μέγιστο για μερακλήδες

Re: Μέγιστο για μερακλήδες

Re: Μέγιστο για μερακλήδες

Re: Μέγιστο για μερακλήδες

Μέλη σε σύνδεση