Λόγος και γωνία

KARKAR · #1

: Λόγος και γωνία.png (12.65 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Σημείο

κινείται στο εσωτερικό σταθερού τμήματος

. Το

είναι τετράγωνο ,

ενώ το CBF

ισόπλευρο τρίγωνο . α) Μπορεί ο λόγος $\dfrac{EB}{AF}$ , να πάρει την τιμή $\dfrac{3}{2}$ ;

β) Μπορεί η γωνία $\widehat{ASE}$ , να γίνει 60-

άρα ; Αν ναι , για ποια θέση του

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 11, 2021 9:14 am
Λόγος και γωνία.pngΣημείο κινείται στο εσωτερικό σταθερού τμήματος . Το είναι τετράγωνο ,

ενώ το ισόπλευρο τρίγωνο . α) Μπορεί ο λόγος $\dfrac{EB}{AF}$ , να πάρει την τιμή $\dfrac{3}{2}$ ;

β) Μπορεί η γωνία $\widehat{ASE}$ , να γίνει άρα ; Αν ναι , για ποια θέση του ;

α) Έστω

και

μέσο του

Με Πυθαγόρειο διαδοχικά στα τρίγωνα EAB, AFM

έχω:

$\displaystyle E{B^2} = {a^2} + {(a + b)^2} = 2{a^2} + 2ab + {b^2}$ και $\displaystyle A{F^2} = {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{b\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = {a^2} + ab + {b^2}.$

$\displaystyle \frac{{EB}}{{AF}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{2{a^2} + 2ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow {a^2} + ab + 5{b^2} = 0,$ που είναι άτοπο. Άρα η απάντηση είναι όχι.

: Λόγος και γωνία.ΚΑ.png (14.69 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

β) Θα δείξω ότι αυτό συμβαίνει όταν τα σημεία A, D, F

είναι συνευθειακά. Πράγματι, σε αυτή τη θέση είναι

$\displaystyle \frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{DC}}{{FM}} \Leftrightarrow \frac{a}{{a + \frac{b}{2}}} = \frac{{2a}}{{b\sqrt 3 }} \Leftrightarrow b = a(\sqrt 3 + 1).$ Αλλά, $\displaystyle \tan \omega = \frac{a}{{a + b}} = \frac{1}{{\sqrt 3 + 2}} = 2 - \sqrt 3.$

Άρα, $\displaystyle \omega = 15^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{A\widehat SE = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ }$

Λόγος και γωνία

Λόγος και γωνία

Re: Λόγος και γωνία

Μέλη σε σύνδεση