Ακρότατα σε τετράγωνο

#1

: Ακρότατα σε τετράγωνο.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Τα σημεία

κινούνται στις πλευρές AB, CD

αντίστοιχα, τετραγώνου ABCD

πλευράς

ώστε

Αν οι

τέμνονται στο

και

είναι η προβολή του

στην

να βρείτε τη μέγιστη τιμή του τμήματος

και την ελάχιστη τιμή της $\displaystyle \tan \theta ,$ $(\theta = B\widehat CN).$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 02, 2021 7:59 pm
Ακρότατα σε τετράγωνο.png
Τα σημεία κινούνται στις πλευρές αντίστοιχα, τετραγώνου πλευράς ώστε

Αν οι τέμνονται στο και είναι η προβολή του στην να βρείτε τη μέγιστη τιμή του τμήματος

και την ελάχιστη τιμή της $\displaystyle \tan \theta ,$ $(\theta = B\widehat CN).$

: Ακρότατα στο τετράγωνο_new.png (22.36 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Επιλέγω το σύστημα και τις μεταβλητές που φαίνονται στο σχήμα .

$M:\,\,\left\{ \begin{gathered} y = \frac{{ax}}{{2k}} \hfill \\ \frac{x}{{a - k}} + \frac{y}{k} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow M:\,\,\left\{ \begin{gathered} x = \frac{{2k\left( {a - k} \right)}}{{a + k}} \hfill \\ y = \frac{{a\left( {a - k} \right)}}{{a + k}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

α) Θεωρώ τη συνάρτηση , $f(k) = \dfrac{{2k\left( {a - k} \right)}}{{a + k}}\,\,,\,\,0 < k < \dfrac{a}{2}$ με παράγωγο :

$f'\left( k \right) = \dfrac{{2\left( { - {k^2} - 2ak + {a^2}} \right)}}{{{{\left( {a + k} \right)}^2}}}$ , εύκολα βρίσκω ότι παρουσιάζει μέγιστο για

$k = a\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ και είναι : $\boxed{A{N_{\max }} = a\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)}$

β) η $\tan \theta = g(k) = \dfrac{{a - f(k)}}{a}$ με παράγωγο: $g'\left( k \right) = \dfrac{{2\left( {{k^2} + 2ak - {a^2}} \right)}}{{a{{\left( {a + k} \right)}^2}}}$

Παρουσιάζει ελάχιστο για $k = a\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ και είναι : $\boxed{{{\left( {\tan \theta } \right)}_{\min }} = 4\sqrt 2 - 5}$ .

Ακρότατα σε τετράγωνο

Ακρότατα σε τετράγωνο

Re: Ακρότατα σε τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση