Ελάχιστη απόσταση κινητών ( οχημάτων )

KARKAR · #1

: Ελάχιστη απόσταση πλοίων.png (10.32 KiB) Προβλήθηκε 763 φορές

Κινητό

, εκκινεί από την θέση

και κινούμενο επί της ημιευθείας : $y=\dfrac{4}{3}x$ , ( πρώτο τεταρτημόριο)

βρίσκεται κάποια στιγμή στην θέση

. Στο ίδιο χρονικό διάστημα κινητό

, διανύει το διάστημα BB'

.

Βρείτε την ελάχιστη απόσταση

, των δύο κινητών , αν : $v_{A}=2$ και $v_{B}=3$ .

Αν μπορεί κάποιος από τους "προχωρημένους" να κατασκευάσει σχέδιο με κίνηση , που να παριστάνει

το γεγονός , εγώ αλλά και το forum θα του ήμασταν υπόχρεοι

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 13, 2020 8:07 am

Αν μπορεί κάποιος από τους "προχωρημένους" να κατασκευάσει σχέδιο με κίνηση , που να παριστάνει

το γεγονός , εγώ αλλά και το forum θα του ήμασταν υπόχρεοι

Φαντάζομαι ο Θανάσης θέλει κάτι τέτοιο.

Ανοίγετε το συνημμένο αρχείο Geogebra. Κίνηση ενεργή με το βελάκι κάτω αριστερά. Για φρένο το ξαναπατάτε...

Μια προσέγγιση αργότερα. Τώρα παρακολουθούμε την ημερίδα της Ημαθίας.

: 13-12-2020 minimum.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές

edit: Προσθήκη απάντησης.

Σε χρόνο

το

διανύει απόσταση $\displaystyle {S_B} = 3t$ άρα βρίσκεται στη θέση $\displaystyle B'\left( {10 - 3t,0} \right)$ .

Στον ίδιο χρόνο το

διανύει απόσταση $\displaystyle {S_A} = 2t$ .

Έστω $\displaystyle \widehat {AOB} = \varphi$ . Οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{4}{3} \Rightarrow \eta \mu \varphi = \frac{4}{5},\;\;\sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{3}{5}$

Είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \eta \mu \varphi = \frac{{{y_A}}}{{{S_A}}} \Leftrightarrow {y_A} = \frac{4}{5} \cdot 2t = \frac{{8t}}{5}\\ \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{{x_A}}}{{{S_A}}} \Leftrightarrow {x_A} = \frac{3}{5} \cdot 2t = \frac{{6t}}{5} \end{array} \right.$ άρα βρίσκεται στη θέση $\displaystyle A\left( {\frac{{6t}}{5},\frac{{8t}}{5}} \right)$

Είναι $\displaystyle {\rm A}{\rm B}' = \sqrt {{{\left( {10 - 3t - \frac{{6t}}{5}} \right)}^2} + \frac{{64{t^2}}}{{25}}} = \sqrt {\frac{{101{t^2} - 420t + 500}}{5}}$ .

Εντοπίζοντας την κορυφή της παραβολής μέσα στο υπόριζο,

βρίσκουμε ότι το ελάχιστο του τριωνύμου είναι $\displaystyle {{d}_{\min }}=\frac{80}{\sqrt{505}}\simeq 3,56\ m$ για $\displaystyle {t_0} = \frac{{210}}{{101}}\;\sec$ .

#3

: Απόσταση κινητών.png (10.64 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

Ας είναι $OA = s = 2t\,\,,\,\,O{B_1} = x = 10 - 3t\,\,,A{B_1} = y$ . Εύκολα έχω ότι $\boxed{\cos \theta = \frac{3}{5}}$ .

Από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle OA{B_1}$ έχω:

${y^2} = {x^2} + {s^2} - \dfrac{6}{5}xs = \dfrac{1}{5}\left( {101{t^2} - 420t + 500} \right)$

Η συνάρτηση $f(t) = \dfrac{1}{5}\left( {101{t^2} - 420t + 500} \right)$ παρουσιάζει ελάχιστο για $t = \dfrac{{210}}{{101}}$ .

Έτσι $\boxed{{y_{\min }} = \sqrt {f\left( {\frac{{210}}{{101}}} \right)} = \frac{{16\sqrt {505} }}{{101}}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 13, 2020 8:07 am
Κινητό , εκκινεί από την θέση και κινούμενο επί της ημιευθείας : $y=\dfrac{4}{3}x$ , ( πρώτο τεταρτημόριο)

βρίσκεται κάποια στιγμή στην θέση . Στο ίδιο χρονικό διάστημα κινητό , διανύει το διάστημα .

Βρείτε την ελάχιστη απόσταση , των δύο κινητών , αν : $v_{A}=2$ και $v_{B}=3$ .

Αν μπορεί κάποιος από τους "προχωρημένους" να κατασκευάσει σχέδιο με κίνηση , που να παριστάνει

το γεγονός , εγώ αλλά και το forum θα του ήμασταν υπόχρεοι

Γεια σας...

Στα ωραία σχήματα του Γιώργου και του Νίκου προσθέτω και το δικό μου
στο οποίο έχω προσθέσει και το γράφημα μεταβολής της απόστασης των
κινητών $\displaystyle{A,B}$ στα πρώτα έξι δευτερόλεπτα της κίνησης των, αν βέβαια
θεωρήσουμε ως μονάδα χρόνου το δευτερόλεπτο.

: Ελάχιστη απόσταση κινητών 2.png (27.69 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα:

Ελάχιστη απόσταση 2.ggb: (19.55 KiB) Μεταφορτώθηκε 48 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Ελάχιστη απόσταση κινητών ( οχημάτων )

Ελάχιστη απόσταση κινητών ( οχημάτων )

Re: Ελάχιστη απόσταση κινητών ( οχημάτων )

Re: Ελάχιστη απόσταση κινητών ( οχημάτων )

Re: Ελάχιστη απόσταση κινητών ( οχημάτων )

Μέλη σε σύνδεση