Χάλκινος λόγος

KARKAR · #1

: Χάλκινος λόγος.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 768 φορές

Η γωνία $\hat{A}$ του παραλληλογράμμου ABCD

είναι

και οι διαγώνιοί του , σχηματίζουν

οξεία γωνία $\theta$ . Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ , ώστε : 1) $\theta=60^0$ .............. 2) $\theta=45^0$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 18, 2020 12:43 pm
Χάλκινος λόγος.pngΗ γωνία $\hat{A}$ του παραλληλογράμμου είναι και οι διαγώνιοί του , σχηματίζουν

οξεία γωνία $\theta$ . Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ , ώστε : 1) $\theta=60^0$ .............. 2) $\theta=45^0$ .

Την δεύτερη περίπτωση που είναι πιο δύσκολη ομοίως την πρώτη .

: Χάλκινος λόγος_45_ok.png (25.19 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

$\left\{ \begin{gathered} 2{y^2} = a\left( {a - x} \right) \hfill \\ 4{y^2} = {a^2} + {b^2} - ab \hfill \\ \frac{x}{{\sin 75^\circ }} = \frac{b}{{\sin 45^\circ }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2{y^2} = a\left( {a - x} \right) \hfill \\ 4{y^2} = {a^2} + {b^2} - ab \hfill \\ x = ub\,\,,\,\,u = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{a}{b} = \frac{{\sqrt 7 + \sqrt 3 }}{2}}$

α)

: Χάλκινος λόγος_60_ok.png (20.06 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές

Εδώ με όμοιο τρόπο και πιο εύκολα προκύπτει ο χρυσός αριθμός .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 18, 2020 12:43 pm
Χάλκινος λόγος.pngΗ γωνία $\hat{A}$ του παραλληλογράμμου είναι και οι διαγώνιοί του , σχηματίζουν

οξεία γωνία $\theta$ . Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ , ώστε : 1) $\theta=60^0$ .............. 2) $\theta=45^0$ .

: Χάλκινος λόγος.png (13.29 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές

1) $\displaystyle ab\sin 60^\circ = (ABCD) = \frac{{2x \cdot 2y}}{2}\sin 60^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{2xy=ab}$ (1)

και με νόμο συνημιτόνου στα OAB, OAD,

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = {x^2} + {y^2} + xy\\ {b^2} = {x^2} + {y^2} - xy \end{array} \right. \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 2xy\mathop = \limits^{(1)} ab \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{a}{b} = \Phi }$

2) Εκτελώντας την ίδια διαδικασία, βρίσκω

$\displaystyle {a^2} - {b^2} = 2xy\sqrt 2 = ab\sqrt 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{a}{b} = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 7 }}{2}}$

Χάλκινος λόγος

Χάλκινος λόγος

Re: Χάλκινος λόγος

Re: Χάλκινος λόγος

Μέλη σε σύνδεση