Εφτά διαφορετικοί πρώτοι

[Demetres]

Για 4ο θέμα Α’ Λυκείου.

Για τους εφτά φυσικούς αριθμούς είναι γνωστό, ότι είναι όλοι τους πρώτοι αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους. Να βρείτε όλες τις τιμές, που μπορεί να πάρει ο ελάχιστος από αυτούς τους αριθμούς.

[Demetres]

Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας . Τότε ο είναι πρώτος μικρότερος του . Άρα αφού δεν υπάρχει πρώτος μικρότερος του . Επίσης , αφού αν τότε οι είναι περιττοί. Όμως δεν υπάρχει περιττός πρώτος μικρότερος του .

Άρα . Μπορούμε να έχουμε αν πάρουμε και . Όλοι του είναι πρώτοι, καθώς και οι και .

Επεξεργασία: Εδώ έλυσα το εξής διαφορετικό πρόβλημα:

Για τους εφτά φυσικούς αριθμούς είναι γνωστό, ότι είναι όλοι τους πρώτοι αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει ένας από τους .

[Demetres]

Επανέρχομαι διότι δεν είχα καταλάβει σωστά την εκφώνηση της άσκησης. Με ενημέρωσε εγκαίρως ο Αλέξανδρος αλλά δεν μπορούσα να το διορθώσω όταν ενημερώθηκα, και μετά το ξέχασα.

Θα δείξω ότι ο ελάχιστος είναι αναγκαστικά ίσος με .

Θα δείξω αρχικά ότι κανένας από τους αριθμούς δεν μπορεί να ισούται με :
- Αν : Αν , τότε , άτοπο. (Δεν υπάρχει πρώτος μικρότερος του .) Αν , τότε , πάλι άτοπο.
- Αν ή : Καταλήγουμε σε άτοπο όπως πιο πάνω.
- Αν : Τότε ο είναι άρτιος. Άρα ισούται με και άρα . Αυτό είναι άτοπο.
- Αν ή : Καταλήγουμε σε άτοπο όπως πιο πάνω.
- Αν : Αυτό δεν μπορεί να ισχύει αφού και άρα

Θα δείξω τώρα ότι ένας από τους αριθμούς είναι πολλαπλάσιος του . Άρα, αφού είναι πρώτος, θα είναι ίσος με . Έστω ότι αυτό δεν ισχύει.
Περίπτωση 1: Οι έχουν υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το : Τότε ο είναι πολλαπλάσιο του .
Περίπτωση 2: Οι έχουν υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το : Τότε ο είναι πολλαπλάσιο του .
Περίπτωση 3: Δύο από τους , έστω οι , έχουν υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το , ενώ ο άλλος έχει υπόλοιπο : Τότε ο είναι πολλαπλάσιο του .
Περίπτωση 4: Δύο από τους , έστω οι , έχουν υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το , ενώ ο άλλος έχει υπόλοιπο : Τότε ο είναι πολλαπλάσιο του .