1 ίσον 2

#1

: 1 ίσον 2.png (17.55 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές

Τρεις ίσοι κύκλοι (K), (L), (M)

εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο και ένας άλλος κύκλος (O)

εφάπτεται

εσωτερικά και στους τρεις στα σημεία D, E, Z.

Από τυχόν σημείο

του κύκλου (O)

φέρω τα εφαπτόμενα

τμήματα SA, SB, SC

στους ίσους κύκλους. Να δείξετε ότι το μεγαλύτερο από αυτά τα τμήματα είναι ίσο με

το άθροισμα των άλλων δύο.

abgd · #2

: kikloi.png (77.37 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

Ο νόμος των συνημιτόνων, για τις απαιτήσεις της άσκησης, γράφεται ως εξής:

$\boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cosA=...=(b-c)^2+4bc\cdot sin^2\dfrac{A}{2}}$

Στο σχήμα τα τρίγωνα OKS, OMS, OLS

έχουν τις δύο πλευρές τους ίσες με R, R-a

,
όπου

η ακτίνα του μεγάλου κύκλου και

η ακτίνα των μικρών κύκλων.
Οι περιεχόμενες γωνίες αυτών των πλευρών είναι αντίστοιχα: $\phi, 120-\phi, 120+\phi$ .

Εφαρμόζοντας στα τρίγωνα αυτά των νόμο των συνημιτόνων με την παραπάνω έκφραση έχουμε:

$KS^2=a^2+4R(R-a)sin^2\dfrac{\phi}{2}\Rightarrow \boxed{SA=\sqrt{KS^2-a^2}=2\sqrt{R(R-a)}sin\dfrac{\phi}{2} \ \ \bf (1)}$

$MS^2=a^2+4R(R-a)sin^2\left(60-\dfrac{\phi}{2}\right)\Rightarrow \boxed{SB=\sqrt{MS^2-a^2}=2\sqrt{R(R-a)}sin\left(60-\dfrac{\phi}{2}\right) \ \ \bf (2)}$

$LS^2=a^2+4R(R-a)sin^2\left(60+\dfrac{\phi}{2}\right)\Rightarrow \boxed{SC=\sqrt{LS^2-a^2}=2\sqrt{R(R-a)}sin\left(60+\dfrac{\phi}{2}\right) \ \ \bf (3)}$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις $\bf(1),(2)$ έχουμε εύκολα το ζητούμενο SA+SB=SC

#3

Σ' ευχαριστώ Κώστα για τη λύση. Ας το δούμε διαφορετικά.

Το

είναι σημείο του περίκυκλου του ισοπλεύρου τριγώνου DEZ,

άρα $\boxed{SD+SZ=SE}$ (1)

: 1 ίσον 2β.png (27.66 KiB) Προβλήθηκε 49 φορές

Αποδείχθηκε εδώ (#4) ότι $\displaystyle \frac{{SA}}{{SD}} = \sqrt {1 - \frac{r}{R}},$ όπου

η ακτίνα των ίσων κύκλων και

η ακτίνα του μεγάλου κύκλου. Ομοίως,

$\displaystyle \frac{{SC}}{{SE}} = \frac{{SB}}{{SZ}} = \sqrt {1 - \frac{r}{R}}.$ Άρα, $\displaystyle \frac{{SC}}{{SE}} = \frac{{SA}}{{SD}} = \frac{{SB}}{{SZ}} = \frac{{SA + SB}}{{SD + SZ}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{SA + SB}}{{SE}} \Leftrightarrow$ $\boxed{SA+SB=SC}$

1 ίσον 2

1 ίσον 2

Re: 1 ίσον 2

Re: 1 ίσον 2

Μέλη σε σύνδεση