Υπό σταθερή γωνία

Al.Koutsouridis · #1

Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα

. Τα σημεία

και

του τμήματος

διαλέγονται έτσι, ώστε το

να βρίσκεται μεταξύ των

και

. Προέκυψε ότι AK^2+BL^2=KL^2

. Να αποδείξετε, ότι υπάρχει σημείο, από το οποίο όλα τα τμήματα

φαίνονται υπό σταθερή γωνία.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 12, 2025 11:16 pm
Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα . Τα σημεία και του τμήματος διαλέγονται έτσι, ώστε το να βρίσκεται μεταξύ των και . Προέκυψε ότι . Να αποδείξετε, ότι υπάρχει σημείο, από το οποίο όλα τα τμήματα φαίνονται υπό σταθερή γωνία.

.

: σταθ σημ.png (21.28 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

.
Απάντηση: Το ζητούμενο σημείο είναι στην μεσοκάθετo

του

, σε απόσταση $DM = \dfrac {1}{2} AB=p$ , και η σταθερή γωνία είναι 45^o

.

Φέρνουμε την μεσοκάθετο

του

και παίρνουμε $DM = \dfrac {1}{2} AB= \dfrac {1}{2} p$ . Θα δείξουμε ότι η $\widehat {KDL}= 45^o$ .

Πράγματι, αν $\theta$ η εν λόγω γωνία, τότε από το εμβαδόν του KDL

με δύο διαφορετικούς τρόπους έχουμε $\dfrac {1}{2} KL \cdot p= \dfrac {1}{2} gh\sin \theta \, (*)$ .

Επίσης από τον Νόμο των σηνημιτόνων στο KDL

και την δοθείσα συνθήκη έχουμε

$g^2+h^2-2gh\cos \theta = KL^2= AK^2+BL^2= (p-KM)^2+(p-ML)^2 =$

$= (p^2+KM^2)+(p^2+ML^2) - 2p (KM+ML)= g^2+h^2-2p\cdot KL=^{(*)} g^2+h^2-2gh\sin \theta$

Από την πρώτη και την τελευταία έχουμε $\cos \theta = \sin \theta$ , από όπου $\boxed { \theta = 45 ^o}$

#3

Πρόσθετη άσκηση:

Με βάση το σχήμα του προηγούμενου ποστ δείξτε τις ισότητες

$\widehat {AKD}=\widehat {MDL}$ και $\widehat {KDM}=\widehat {LDB}$

Al.Koutsouridis · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 15, 2025 10:08 pm
Πρόσθετη άσκηση:

Με βάση το σχήμα του προηγούμενου ποστ δείξτε τις ισότητες

$\widehat {AKD}=\widehat {MDL}$ και $\widehat {KDM}=\widehat {LDB}$

Είναι $\left ( AK+BL\right)^2 > AK^2+BL^2 =KL^2$ , επομένως AK+BL > KL

και άρα οι κύκλοι $\left ( K, KA \right)$ και $\left( L, LB\right)$ τέμνονται. Ας είναι

το σημείο τομής τους(του ημιεπίπεδου ως προς την ευθεία

που δεν περιέχει το

). Ισχύει

, άρα το τρίγωνο KNL

είναι ορθογώνιο με ορθή την γωνία

.

Από τα ισοσκελή τρίγωνα KAN

,

έχουμε

$2\angle KAN = \angle KAN+KNA=\angle LKN$ και ομοίως $2\angle LBN =\angle KLN$ .

Από τις παραπάνω ισότητες παρατηρούμε ότι $\angle KAN +\angle LBN =90^{0}/2= 45^0$ . Επομένως $\angle ANB=135^0$ .

Δεδομένου της κατασκευής του σημείου

( $DA=DB, \angle ADB=90^0$ και της ισότητας $\angle ANB=135^0$ , συμπαιρένουμε ότι το σημείο

είναι σημείο του κύκλου με κέντρο το σημείο

και ακτίνα DA=DB

.

Είναι

$\angle ADK=\angle KDN=45^0-\angle NDL=45^0-\angle LDB=\angle MDL$ .

: upo_stahterh_gwnia.png (206.95 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές

Υπό σταθερή γωνία

Υπό σταθερή γωνία

Re: Υπό σταθερή γωνία

Re: Υπό σταθερή γωνία

Re: Υπό σταθερή γωνία

Μέλη σε σύνδεση