Περίτεχνος περίκυκλος

KARKAR · #1

: Περίτεχνος περίκυκλος.png (14.83 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές

Το ισοσκελές τραπέζιο ABCD

έχει βάσεις : AB=7 , DC=5

και ύψος : CE=6

. Η κάθετη της

στο

, τέμνει την προέκταση της διαγωνίου

στο σημείο

. Ο κύκλος που ορίζουν τα σημεία T , C , B

,

τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 04, 2025 7:03 am
Περίτεχνος περίκυκλος.pngΤο ισοσκελές τραπέζιο έχει βάσεις : και ύψος : . Η κάθετη της

στο , τέμνει την προέκταση της διαγωνίου στο σημείο . Ο κύκλος που ορίζουν τα σημεία ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

$\displaystyle AZ = \frac{{AB - CD}}{2} = 1 \Rightarrow DZ = ZB = 6$ και TA=AB=7.

Έτσι, προκύπτουν οι γωνίες των $45^\circ$

που φαίνονται στο σχήμα. Άρα οι διαγώνιοι του τραπεζίου είναι κάθετες και αν (O, R)

ο περιγεγραμμένος κύκλος,

το

θα είναι σημείο του AC.

Είναι ακόμα, $\boxed{AS^2=TS^2-49=2R^2-49}$ (1)

: Περίτεχνος περίκυκλος.png (27.19 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές

Εξάλλου, $TC=CB=AD=\sqrt{37}.$ Αλλά, $\displaystyle TC \cdot CB = 2RCM \Leftrightarrow 37 = 2R \cdot \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow R = \frac{{37}}{{5\sqrt 2 }}$

Αντικαθιστώντας τώρα στην (1),

παίρνω $\boxed{AS=\dfrac{12}{5}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 04, 2025 7:03 am
Περίτεχνος περίκυκλος.pngΤο ισοσκελές τραπέζιο έχει βάσεις : και ύψος : . Η κάθετη της

στο , τέμνει την προέκταση της διαγωνίου στο σημείο . Ο κύκλος που ορίζουν τα σημεία ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

Είναι $EB = 1 \Rightarrow u = \sqrt {36 + 1} = \sqrt {37}$ . Αφού προφανώς $TB = 7\sqrt 2$ και $CT = \sqrt {37}$ από τον Ήρωνα έχω :

$\left( {CTB} \right) = \dfrac{{35}}{2}$ και από τον τύπο : $R = \dfrac{{abc}}{{4E}}$ στο $\vartriangle CTB$ έχω $R = \dfrac{{37\sqrt 2 }}{{10}}$ . Επειδή $TS \cdot TB = 2R \cdot TA \Rightarrow TS \cdot 7\sqrt 2 = 14R \Rightarrow TS = \dfrac{{37}}{5}$
.

: Περίτεχνος περίκυκλος_new.png (23.66 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές

.
Τέλος από το Π. Θ. στο $\vartriangle AST$ , $\boxed{{{\left( {\dfrac{{37}}{5}} \right)}^2} = {x^2} + 49 \Rightarrow x = \dfrac{{12}}{5}}$

Παρατήρηση :

Το $\vartriangle ECA$ είναι ισοσκελές κι ορθογώνιο κι έτσι προκύπτει η καθετότητα των διαγωνίων του τραπεζίου

: Περίτεχνος περίκυκλος_σχήμα.png (44.53 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 04, 2025 7:03 am
Περίτεχνος περίκυκλος.pngΤο ισοσκελές τραπέζιο έχει βάσεις : και ύψος : . Η κάθετη της

στο , τέμνει την προέκταση της διαγωνίου στο σημείο . Ο κύκλος που ορίζουν τα σημεία ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

Προφανώς

είναι ισοσκελές τραπέζιο και λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών είναι $PS=//DA\Rightarrow AS=PD$

Ισχύει $QD//AB \Rightarrow \dfrac{QD}{AB}= \dfrac{TQ}{TA} \Rightarrow \dfrac{1}{7} = \dfrac{x} {x+6} \Rightarrow x=1 \Rightarrow TD= \sqrt{2}$

Ο Πτολεμαίος στο ABCD

εύκολα δίνει $DB=6 \sqrt{2}$

Τέλος,από $PD.DC=TD.DB\Rightarrow 5PD= \sqrt{2} .6 \sqrt{2} \Rightarrow PD=AS= \dfrac{12}{5}$

: Περίτεχνος κύκλος.png (28.82 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές

Περίτεχνος περίκυκλος

Περίτεχνος περίκυκλος

Re: Περίτεχνος περίκυκλος

Re: Περίτεχνος περίκυκλος

Re: Περίτεχνος περίκυκλος

Μέλη σε σύνδεση