Ισότητα στον νότο

[KARKAR]

Ισότητα στον νότο.png (24.35 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Να βρεθεί σημείο

της ημιευθείας , για το οποίο να είναι : .

[Mihalis_Lambrou]

Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Να βρεθεί σημείο

της ημιευθείας , για το οποίο να είναι : .

.

isot noto.png (35.53 KiB) Προβλήθηκε 1260 φορές

.
Αφού το είναι σταθερό σημείο και αφού η διχοτόμος της διέρχεται από το , σημαίνει ότι το είναι στον κύκλο του Απολλωνίου από το και το συζυγές του (κόκκινος κύκλος). Η τομή του με την είναι το ζητούμενο σημείο. Tελειώσαμε.

[Dimessi]

Διαφορετική κατασκευή χωρίς αρμονικά συζυγη .
Η μεσοκάθετος του τέμνει την διχοτόμο της στο
που από το θεώρημα νότιου πόλου ανήκει στον κύκλο
Με άλλα λόγια το κατασκευάζεται ως το δεύτερο σημείο τομής της με τον κύκλο

Από διχοτόμο.png (249.88 KiB) Προβλήθηκε 1214 φορές

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Ισότητα στον νότο.pngΤρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Να βρεθεί σημείο

της ημιευθείας , για το οποίο να είναι : .

Εναλλακτικά..

Στον περίκυκλο του το είναι το αντιδιαμετρικό του οπότε

Ο κύκλος που εφάπτεται της και περνά από τα τέμνει την στο ζητούμενο σημείο

Τότε όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και το ζητούμενο είναι προφανές

διχοτόμος.png (38.65 KiB) Προβλήθηκε 1167 φορές

[KARKAR]

Ισότητα στον νότο.png (38.24 KiB) Προβλήθηκε 1120 φορές

Αν το συμμετρικό του ως προς και το συμμετρικό του ως προς ,

δείξτε ότι η τομή των ευθειών , είναι μια άλλη λύση του προβλήματος

[Mihalis_Lambrou]

Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Να βρεθεί σημείο

της ημιευθείας , για το οποίο να είναι : .

isot noto 4.png (16.4 KiB) Προβλήθηκε 1109 φορές

.
Άλλη μία λύση στο αρχικό πρόβλημα: Φέρνουμε από το κάθετο στην διάμετρο , οπότε είναι και . Προεκτείνουμε την μέχρι να τμήσει την διάμετρο στο . Το είναι το ζητούμενο διότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα (άμεσο), οπότε .

[Dimessi]

Ισότητα στον νότο.pngΑν το συμμετρικό του ως προς και το συμμετρικό του ως προς ,

δείξτε ότι η τομή των ευθειών , είναι μια άλλη λύση του προβλήματος

Να με συγχωρείτε χρησιμοποιώ το σχήμα σας γιατί δεν χρειάζεται κάποια αλλαγή
Έχουμε




δηλ. το ανήκει στον κύκλο (*) οπότε

δηλ.
οπότε από (*) είναι το ζητούμενο σημείο όπως έδειξα και στο ποστ 3.

Ισότητα στον νότο -πρόσθετο ερώτημα.png (38.24 KiB) Προβλήθηκε 1053 φορές

[Doloros]

Ισότητα στον νότο.pngΤρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Να βρεθεί σημείο

της ημιευθείας , για το οποίο να είναι : .

Μια κατασκευή

(με τη βοήθεια του λογισμικού)

Ας είναι η τομή της με το ευθύγραμμο τμήμα ( και μάλιστα εσωτερικό αυτού)

Η πολική του ως προς τον κύκλο είναι ευθεία , εκτός του κύκλου και κάθετη στην ευθεία στο σημείο .

Απόδειξη
.

Ισότητα στο Νότο Κατασκευή_πολική.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές

Αν η και η τέμνονται στο η τετράδα , , είναι αρμονική (από τον ορισμό της πολικής)
.
Τα υπόλοιπα όπως τα έγραψε ο Κ. Λάμπρου στην αρχική του λύση.