Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος

KARKAR · #1

: Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Στο ημικύκλιο διαμέτρου

θεωρούμε σημεία S , T

, τέτοια ώστε : AS=ST

και ονομάζουμε

S' , T'

τις προβολές τους στην

. Για ποια θέση του σημείου

, προκύπτει : SS' = 2TT'

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 21, 2025 11:18 am
Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου θεωρούμε σημεία , τέτοια ώστε : και ονομάζουμε

τις προβολές τους στην . Για ποια θέση του σημείου , προκύπτει : ;

.
Γράφω Τριγωνομετρική λύση, αλλά η οποία εύκολα προσαρμόζεται σε καθαρά Γεωμετρική. Βασικά εργαζόμαστε στο ορθογώνιο τρίγωνο ASB

.

Θέτουμε $\widehat {ABS}=\theta= \widehat {SBT}$ . Είναι τότε $2h=SS'= SB \sin \theta = 2R \sin \theta \cos \theta = R\sin 2\theta$ .

Όμοια $TT'= 2R\sin 2\theta \cos 2\theta$ , οπότε η συνθήκη SS'=2TT'

γίνεται $R\sin 2\theta = 2\cdot 2R\sin 2\theta \cos 2\theta$ . Ισοδύναμα

$\boxed {\cos 2\theta = \dfrac {1}{4}}$ . Συμπεραίνουμε ότι

$SS'= R\sin 2\theta = R \sqrt { 1- cos ^2 2\theta }= R \sqrt { 1- \left (\dfrac {1}{4} }\right )^2 } = \dfrac {R\sqrt {15}}{4}$ .

Με άλλα λόγια δεν έχουμε παρά να λάβουμε το

σε απόσταση $\dfrac {R\sqrt {15}}{4}$ από την διάμετρο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 21, 2025 11:18 am
Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου θεωρούμε σημεία , τέτοια ώστε : και ονομάζουμε

τις προβολές τους στην . Για ποια θέση του σημείου , προκύπτει : ;

Ανάλυση

Με AS=SC

το τρίγωνο ACT

είναι ορθογώνιο στο

άρα τα

είναι συνευθειακά και

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ACB

.Ακόμη,

Έτσι $CD=2SS’=4h\Rightarrow BC=4BT \Rightarrow BT= \dfrac{R}{2}$
Κατασκευή

Γράφουμε κύκλο $(B, \dfrac{R}{2})$ που τέμνει το ημικύκλιο στο

.H μεσοκάθετη της

τέμνει το ημικύκλιο στο ζητούμενο σημείο

: Ίσο μήκος ,διπλάσιο ύψος.png (26.02 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 21, 2025 11:18 am
Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου θεωρούμε σημεία , τέτοια ώστε : και ονομάζουμε

τις προβολές τους στην . Για ποια θέση του σημείου , προκύπτει : ;

Κατασκευή: Θεωρώ σημείο

της διαμέτρου ώστε $AS'=\dfrac{3R}{4}.$ Η κάθετη στη διάμετρο από το

τέμνει το ημικύκλιο

στο ζητούμενο σημείο

Η κατασκευή προέκυψε από την ανάλυση που προηγήθηκε και δίνεται παρακάτω.

: Ίσο μήκος διπλάσιο ύψος.png (17.13 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Έστω

η ακτίνα του ημικυκλίου και

το μέσο του SS'.

Προφανώς το SMT'T

είναι παραλληλόγραμμο.

Θέτω AS'=x, S'T'=y

και έχω $\boxed{4h^2=x(2R-x)}$ και $\boxed{h^2=(x+y)(2R-x-y)}$

Εξάλλου, $\displaystyle A{S^2} - A{M^2} = {(MT')^2} - A{M^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{3h^2=y^2-x^2}$

Με απαλοιφή του

καταλήγω στις εξισώσεις, $\displaystyle y = \frac{{3R - x}}{2},{y^2} = \frac{{{x^2} + 6Rx}}{4},$ απ' όπου $\boxed{x=\frac{3R}{4}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 21, 2025 11:18 am
Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου θεωρούμε σημεία , τέτοια ώστε : και ονομάζουμε

τις προβολές τους στην . Για ποια θέση του σημείου , προκύπτει : ;

Ας είναι

το σημείο τομής της SS'

με το κάτω ημικύκλιο και

το σημείο τομής της

με την

.

Επειδή ${a_1} = {a_2}$ το τετράπλευρο SACD

είναι ρόμβος πλευράς , SA = 2k

. Ακόμα επειδή $\vartriangle S'CD \approx \vartriangle T'TD$ και S'C = 2T'T

,

Αν

θα είναι $S'D = S'A = 2x\,$ . Ας είναι και

μέσο του

, το $\vartriangle TSS'$ έχει την

διάμεσο και ύψος άρα

Θα είναι ισοσκελές με κορυφή το

και

η τομή των $SD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TD$ θα είναι $S'G// = \dfrac{1}{2}CD = TD = k\,$ . Ας είναι και TB = y

.

: Ίσο μήκος δiπλάσιο ύψος.png (35.63 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

Από Π. Θ. στα $\vartriangle T'TD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle T'S'T$ έχω , $\left\{ \begin{gathered} {k^2} = {x^2} + {h^2}\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ 4{k^2} = 9{x^2} + {h^2}\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και διώχνω το

οπότε , $3{k^2} = 8{x^2}\,\,\left( {\, * } \right)$ .

Αλλά το

είναι ύψος προς την υποτείνουσα

του $\vartriangle TAB$ και συνεπώς , ${h^2} = 5xy$ που λόγω της $\left( 1 \right)$ γράφεται : ${k^2} = {x^2} + 5xy$ .

Η $\left( * \right)$ λόγω της προηγούμενης γράφεται: $3\left( {{x^2} + 5xy} \right) = 8{x^2} \Leftrightarrow \boxed{x = 3y}$ , συνεπώς $2R = 5x + \dfrac{x}{3} \Leftrightarrow 6R = 16x \Leftrightarrow \boxed{2x = \frac{{3R}}{4}}$ ,

Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος

Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος

Re: Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος

Re: Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος

Re: Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος

Re: Ίσο μήκος , διπλάσιο ύψος

Μέλη σε σύνδεση