Στον βωμό της ισότητας

KARKAR · #1

: Στον βωμό της ισότητας.png (22.97 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

Οι κύκλοι (O,R)

και

εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο

. Από το

φέρω το "κάτω "

εφαπτόμενο τμήμα

προς τον

, η προέκταση του οποίου τέμνει τον (K)

στο σημείο

.

Από το

φέρω το "άνω" εφαπτόμενο τμήμα

προς τον

, το οποίο τέμνει τον (K)

στο σημείο

. Κατασκευάστε τους δύο κύκλους έτσι , ώστε να προκύψει : SP=PT

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 07, 2025 8:44 pm
Στον βωμό της ισότητας.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Από το φέρω το "κάτω "

εφαπτόμενο τμήμα προς τον , η προέκταση του οποίου τέμνει τον στο σημείο .

Από το φέρω το "άνω" εφαπτόμενο τμήμα προς τον , το οποίο τέμνει τον

στο σημείο . Κατασκευάστε τους δύο κύκλους έτσι , ώστε να προκύψει : .

$\angle \theta + \phi = \angle \dfrac{KOQ+QKO}{2}=45^0 \Rightarrow PS=PT=r \sqrt{2} \Rightarrow SQ=ST=2r \sqrt{2} \Rightarrow KQ=2r \sqrt{2} -r$

$KQ^2=r(r+2R) \Rightarrow (2r \sqrt{2}-r)^2=r(r+2R) \Rightarrow \dfrac{R}{r}=2(2- \sqrt{2} )$

: Στο βωμό της ισότητας.png (43.96 KiB) Προβλήθηκε 297 φορές

KARKAR · #3

Μιχάλη , νάσαι καλά

: Ομολογία.png (17.36 KiB) Προβλήθηκε 287 φορές

Βάζω και μια παραλλαγή της άσκησης , στην οποία ζητάμε ο λόγος : $\dfrac{SP}{PT}$ , να ισούται με τον : $\dfrac{r}{R}$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 07, 2025 8:44 pm
Στον βωμό της ισότητας.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Από το φέρω το "κάτω "

εφαπτόμενο τμήμα προς τον , η προέκταση του οποίου τέμνει τον στο σημείο .

Από το φέρω το "άνω" εφαπτόμενο τμήμα προς τον , το οποίο τέμνει τον

στο σημείο . Κατασκευάστε τους δύο κύκλους έτσι , ώστε να προκύψει : .

Ας είναι ο κύκλος με ακτίνα

, γνωστός και θα προσδιορίσω την ακτίνα

. Έστω

τομή της

με τον , $\left( {K,r} \right)$ .

Ακόμα θεωρώ

το μέσο του

, θέτω δε

.

Επειδή , $PK// = \dfrac{1}{2}TD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PM// = \dfrac{1}{2}DS\,$ το τετράπλευρο KPMD

είναι ( σε πρώτη φάση) ρόμβος.

: Στο Βωμό της ισότητας_ok.png (32.75 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές

Στο $\vartriangle DST$ η

είναι ύψος και διάμεσος . Επί πλέον $\theta = \widehat {MPD} = \omega$ και $\phi + \omega = 90^\circ$ , το τετράπλευρο , KPMD

είναι τετράγωνο .

Είναι , $ST = SQ \Rightarrow 2r\sqrt 2 = 2r + m \Leftrightarrow m = 2r\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\,\,\left( 1 \right)$ . Από το Π. Θ. στο $\vartriangle QKO$ έχω :

$O{Q^2} + Q{K^2} - O{K^2} = 0 \Rightarrow {R^2} + {\left( {m + r} \right)^2} - {\left( {R + r} \right)^2} = 0$ που λόγω της $\left( 1 \right)$ δίδει : $\boxed{r = R\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4} + \dfrac{1}{2}} \right)}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 08, 2025 11:00 am
Μιχάλη , νάσαι καλά

Ομολογία.pngΒάζω και μια παραλλαγή της άσκησης , στην οποία ζητάμε ο λόγος : $\dfrac{SP}{PT}$ , να ισούται με τον : $\dfrac{r}{R}$ .

Με τους συμβολισμούς του παρακάτω σχήματος ,όπως είδαμε στην προηγούμενη ανάρτηση

ισχύει $\angle \theta + \phi =45^0$ ,επομένως $NS=NL=r \sqrt{2}$

Επειδή $\angle NAL=135^0 \Rightarrow \angle NLA= \angle NCA= \theta$ και

εφάπτεται του

κύκλου (A,L,Q)

άρα

Ακόμη $NK//OQ\Rightarrow \dfrac{x}{y}= \dfrac{R}{r} (2)$ και $(1).(2) \Rightarrow x(x+y)=2Rr$

Επειδή CK//OT

και $OT \bot TS \Rightarrow CK \bot SP \Rightarrow MS= \dfrac{SP}{2}$

Η ισότητα των γωνιών $\phi$ και των γωνιών $2\phi$ είναι προφανής και στο τρίγωνο KOQ

είναι $sin2 \phi = \dfrac{R}{R+r} \Rightarrow 2sin \phi cos \phi = \dfrac{R}{R+r}$ Αλλά

$sin \phi = \dfrac{MS}{CS}= \dfrac{ \dfrac{SP}{2} }{CS} \Rightarrow 2sin \phi = \dfrac{SP}{CS}$

και $cos \phi = \dfrac{CS}{2r}$

Επομένως $2sin \phi cos \phi =\dfrac{R}{R+r} \Rightarrow \dfrac{SP}{2r}=\dfrac{R}{R+r} \Rightarrow SP= \dfrac{2Rr}{R+r}$ κι από $\dfrac{TP}{SP}= \dfrac{R}{r}$

παίρνουμε $TP= \dfrac{2R^2}{R+r}$ με TP+SP=2R

. Έτσι $ST=SQ=2R \Rightarrow QL=2(R-r)$

Τώρα , $QL.QS=x(x+y)=2r^2 \Rightarrow 2(R-r).2R=2r^2 \Leftrightarrow 2x^2-2x-1=0$

όπου $x= \dfrac{R}{r}$ κι εύκολα $x= \dfrac{R}{r}= \dfrac{3}{2}$

: Στο βωμό της ισότητας2.png (83.31 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές

Στον βωμό της ισότητας

Στον βωμό της ισότητας

Re: Στον βωμό της ισότητας

Re: Στον βωμό της ισότητας

Re: Στον βωμό της ισότητας

Re: Στον βωμό της ισότητας

Μέλη σε σύνδεση