Ωραίος τύπος

KARKAR · #1

: Ωραίος τύπος.png (13.7 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές

Ο έγκυκλος (O)

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

εφάπτεται στις κάθετες πλευρές AB, AC

στα σημεία S , P

αντίστοιχα . Η

τέμνει τον κύκλο και στο σημείο

. Αν : $\widehat{TOP}=\widehat{ACB}$ , βρείτε τον "τύπο" του ABC

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 03, 2025 1:46 pm
Ωραίος τύπος.pngΟ έγκυκλος του ορθογωνίου τριγώνου εφάπτεται στις κάθετες πλευρές στα σημεία

αντίστοιχα . Η τέμνει τον κύκλο και στο σημείο . Αν : $\widehat{TOP}=\widehat{ACB}$ , βρείτε τον "τύπο" του .

Στο ισοσκελές τρίγωνο OTS

είναι, $\displaystyle \theta + 2\omega = 90^\circ \mathop \Leftrightarrow \limits^{\theta = \widehat C} \omega = \frac{{\widehat B}}{2} = S\widehat BO.$

: Ωραίος τύπος.Κ.png (17.13 KiB) Προβλήθηκε 277 φορές

Τα τρίγωνα λοιπόν ASC, SOB

είναι ίσα και $\displaystyle AC = SB \Leftrightarrow b = \frac{{a + c - b}}{2} \Leftrightarrow b = \frac{{3c}}{4}$

Εύκολα τώρα προκύπτει ο τύπος του τριγώνου $\boxed{(b, c, a)=(3k, 4k, 5k)}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 03, 2025 1:46 pm
Ωραίος τύπος.pngΟ έγκυκλος του ορθογωνίου τριγώνου εφάπτεται στις κάθετες πλευρές στα σημεία

αντίστοιχα . Η τέμνει τον κύκλο και στο σημείο . Αν : $\widehat{TOP}=\widehat{ACB}$ , βρείτε τον "τύπο" του .

Βεβαίως η λύση του Γιώργου είναι ή πιο απλή . Ας δούμε κάτι ακόμα .

Το αντιδιαμετρικό του

έστω

και η εφαπτομένη του κύκλου στο

τέμνει την

στο

.

Προφανώς τα τετράπλευρα $ASOP\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,POMD$ είναι τετράγωνα με πλευρά x = AS

( ακτίνα του κύκλου ).

Από το

φέρνω παράλληλη στην

που τέμνει την ημιευθεία

στο σημείο

.

Αν

το σημείο επαφής του κύκλου με την

, το πεντάγωνο CPOHZ

είναι εγγράψιμο σε κύκλο ,

διαμέτρου μιας των διαγωνίων του ορθογωνίου , CPOZ

. Επειδή το κέντρο

του

είναι το μέσο της

διαγωνίου ,

και το

, το

είναι μέσο του

συνεπώς και το τετράπλευρο DMZC

είναι τετράγωνο.

: Ωραίος Τύπος_Μια λύση.png (28.63 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές

Προφανώς από το ισοσκελές τρίγωνο OTS

η $\widehat {MOT} = 2\omega = \widehat {B_{}^{}}$ που μαζί με τη $\theta$ είναι συμπληρωματικές .

Είναι : $\tan \omega = \dfrac{x}{{3x}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \tan 2\omega = \dfrac{{\dfrac{2}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{9}}} = \dfrac{3}{4}$ , ενώ $\tan 2\omega = \dfrac{{CA}}{{AB}} = \dfrac{{3x}}{{AB}} \Rightarrow AB = 4x$ δηλαδή το $\boxed{\vartriangle ABC \to \left( {4k,5k,3k} \right)}$

Ωραίος τύπος

Ωραίος τύπος

Re: Ωραίος τύπος

Re: Ωραίος τύπος

Μέλη σε σύνδεση