Εγγράψιμα από παραλληλία

#1

: Εγγράψιμα από παραλληλία.png (14.66 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές

Σε τετράπλευρο ABCD

οι διχοτόμοι των γωνιών $A\widehat BD, A\widehat CD$ τέμνουν τις διαγώνιες AC, BD

στα

αντίστοιχα. Αν ST//AD,

να δείξετε ότι τα τετράπλευρα ABCD, SBCT

είναι εγγράψιμα.

edit:

Προσθήκη: Οι γωνίες $B\widehat AC, B\widehat DC$ είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες,

όπως προτρέπει παρακάτω ο Μιχάλης (Σ' ευχαριστώ Μιχάλη).

#2

Γιώργο, έλυσα την ωραιότατη αυτή άσκηση αλλά η εκφώνηση θέλει μικρή προσθήκη. Αλλιώς δεν ισχύει το συμπέρασμα.

Συγκεκριμένα, πρέπει να υποθέσουμε ακόμη ότι (όπως υπονοεί το σχήμα) οι γωνίες $\angle BAC, \angle BDC$ είναι και οι δύο οξείες (ή και οι δύο αμβλείες). Αντίθετα, αν τις πάρουμε παραπληρωματικές τότε ισχύουν οι υποθέσεις αλλά το ABCD

δεν είναι εγγράψιμο.

Έφτιαξα και ένα Geogebra που το "επιβεβαιώνει", αλλά δεν ξέρω πώς να το φορτώσω εδώ. (*)

Αν το επιβεβαιώσεις, θα γράψω λύση όπου θα φανεί και το σημείο που απαιτείται να είναι οξείες και οι δύο γωνίες (ή αμβλείες και οι δύο). Βασικά τα ημίτονα των εν λόγω γωνιών είναι ίσα και άρα θέλουμε την προσθήκη που λέω για να πούμε ότι είναι ίσες.

(*) Αν το δει αυτό ο μάγος του Geogebra, Κώστας Δόρτσιος, είμαι βέβαιος ότι θα φτιάξει σχήμα που θα ξεκαθαρίζει το τοπίο

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 25, 2025 3:26 pm
Εγγράψιμα από παραλληλία.png
Σε τετράπλευρο οι διχοτόμοι των γωνιών $A\widehat BD, A\widehat CD$ τέμνουν τις διαγώνιες στα

αντίστοιχα. Αν να δείξετε ότι τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα.

Οι γωνίες $B\widehat AC, B\widehat DC$ είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες,

.
Από (1) τον Νόμο των Ημιτόνων, (2) το Θεώρημα της διχοτόμου και (3) το Θεώρημα Θαλή, έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {\sin A_1}{\sin E_1} =^{(1)} \dfrac {BE}{BA}= ^{(2)} \dfrac {ES}{SA} =^{(3)} \dfrac {ET}{TD} =^{(2)} \dfrac {EC}{CD} =^{(1)} \dfrac {\sin D_1}{\sin E_2}}$

Από την πρώτη και την τελευταία, και επειδή E_1=E_2

, έπεται $\sin A_1= \sin D_1$ . Αλλά A_1, D_1

και οι δύο οξείες (ή και οι δύο αμβλείες) οπότε $\angle A_1=\angle D_1$ . Έπεται ότι το ABCD

είναι εγγράψιμο.

Επίσης, έπεται ότι οι σημειωμένες γωνίες στις κορυφές B, C

είναι ίσες, άρα είναι ίσες και το ήμισή τους, εδώ $\angle SBT= \angle SCT$ . Άρα και το SBCT

είναι εγγράψιμο.

-------
Υπόψη ότι ισχύει και το αντίστροφο, ότι δηλαδή αν ABCD

εγγράψιμο τότε ST //AB

. Αυτό είναι πολύ ευκολότερο από την εδώ άσκηση, και θα την συνιστούσα ανεπιφύλακτα για τους μαθητές μας όταν διδαχθούν τα βασικά για εγγράψιμα τετράπλευρα.
.

#4

Σ' ένα τέτοιο τετράπλευρο αναφέρεται ο Μιχάλης. Ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις αλλά δεν είναι εγγράψιμο.

: Αντιπαράδειγμα.Μ.png (17.07 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

Η άσκηση ξεκίνησε με εγγράψιμο ABCD

και το ζητούμενο ήταν να δειχθεί ότι ST//AD,

αλλά μου φάνηκε πολύ

εύκολο και εξέτασα αν ισχύει το αντίστροφο. Στο σχήμα μου (αλλά και στο μυαλό μου) η γωνία $A\widehat EB$ ήταν αμβλεία,

οπότε πήρα κριτήριο ομοιότητας σε αμβλυγώνια τρίγωνα, όπου οι επίμαχες γωνίες ήταν και οι δύο οξείες. Σ' αυτό το

σημείο λοιπόν έγινε η πατάτα

Εγγράψιμα από παραλληλία

Εγγράψιμα από παραλληλία

Re: Εγγράψιμα από παραλληλία

Re: Εγγράψιμα από παραλληλία

Re: Εγγράψιμα από παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση