Η τέταρτη πλευρά

KARKAR · #1

: Η τέταρτη πλευρά.png (5.93 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές

Στο τετράπλευρο του σχήματος , όπου οι πράσινες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την πλευρά

.

Στην συνέχεια , σχεδιάστε και υπολογίστε την διχοτόμο

, της γωνίας $\widehat{BDC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 02, 2024 10:13 am
Στο τετράπλευρο του σχήματος , όπου οι πράσινες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την πλευρά .

Στην συνέχεια , σχεδιάστε και υπολογίστε την διχοτόμο , της γωνίας $\widehat{BDC}$ .

Προεκτείνουμε τις AD, BC

μέχρι να τμηθούν στο

. Το τρίγωνο EDC

είναι ισοσκελές, έστω με ED=EC=y

.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο EAB

του οποίου οι πλευρές είναι 3a, a+y, 2a+y

έχουμε

. Άρα (πρωτοβάθμια) y=3a

.

Στο

τώρα ο Νόμος των Συνημιτόνων δίνει

$x^2= y^2+y^2-2y^2\cos E = 9a^2+9a^2-2\cdot 9a^2 \cdot \dfrac {EA}{EB}= 18a^2-18a^2 \cdot \dfrac {4}{5}=\dfrac {18}{5}a^2$

Άρα $\boxed { x= \dfrac {3}{5} \sqrt {10}a}$ .

Τα υπόλοιπα τώρα είναι άμεσα: Ο σχεδιασμός της διχοτόμου είναι απλός και ο υπολογισμός της είναι ρουτίνα από έτοιμο τύπο στο τρίγωνο DBC

με γνωστές όλες του τις πλευρές, εδώ $DC= \dfrac {3}{5} \sqrt {10}a, BC=2a, BD = \sqrt {10}a$ . O τύπος είναι $\delta_a = \dfrac {2}{b+c}\sqrt {bcs(s-a)}$ , και αν έκανα σωστά τις πράξεις δίνει $\delta _a= \dfrac {9}{4}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 02, 2024 10:13 am
Η τέταρτη πλευρά.pngΣτο τετράπλευρο του σχήματος , όπου οι πράσινες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την πλευρά .

Στην συνέχεια , σχεδιάστε και υπολογίστε την διχοτόμο , της γωνίας $\widehat{BDC}$ .

: Η τέταρτη πλευρά.png (24.17 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

Θα γράψω και τα λόγια.

#4

Δίνω μία κατασκευή του σχήματος.

: Η τέταρτη πλευρά.K.png (18.26 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές

Επί του τμήματος AB=3a

θεωρώ σημείο

ώστε

και κατασκευάζω το τετράγωνο AEKD.

Οι κύκλοι

τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

διαφορετικό του

Το

είναι

το ζητούμενο τετράπλευρο.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 02, 2024 10:13 am
Η τέταρτη πλευρά.pngΣτο τετράπλευρο του σχήματος , όπου οι πράσινες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την πλευρά .

Στην συνέχεια , σχεδιάστε και υπολογίστε την διχοτόμο , της γωνίας $\widehat{BDC}$ .

Έχω σταθερά το $AB = 3a\,\,$ , το κάθετο τμήμα σ αυτό DA = a

και τον κύκλο $\left( {B,2a} \right)$ . Έστω ότι κατασκεύασα το όλο σχήμα .

Ας είναι $J,\,\,$ η κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου , που προέκυψε από τις $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS$ και

το μέσο του

.

Η ευθεία

τέμνει την

στο

και τον κύκλο ακόμα στο

. Τα $\vartriangle ADE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle MDJ$ είναι όμοια .

Ακόμα τα ισοσκελή τρίγωνα $JDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BTC$ έχουν ίσες γωνίες στο

άρα είναι όμοια ,

συνεπώς οι γωνίες των κορυφών τους στα , $J\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\,\,,$ είναι από $2\theta$ κάθε μια , οπότε JA//TB

. Επειδή

θα είναι τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ μέσα των $EB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ET.$ Το

είναι και αυτό σταθερό , συμμετρικό του

ως προς το

.

: Η τέταρτη πλευρά_Αν;άλυση Κατασκευή.png (20.95 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές

Κατασκευή :

Η ημιευθεία τέμνει το κύκλο $\left( {B,2a} \right)$ σε δύο σημεία , το πρώτο εξ αυτών είναι το

. Η

τέμνει την

στο

Εύκολα τώρα διαπιστώνουμε ότι στο ορθογώνιο ABJ

είναι : $\boxed{\tan 2\theta = \dfrac{{2\dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{9}}} = \dfrac{3}{4}}$ , συνεπώς $AB = 3a\,\,,\,\,AJ = 4a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BJ = 5a\,\,$ .

Υπολογισμοί :

$\boxed{DC = \frac{3}{5}DT = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}ET = \frac{3}{{10}}\sqrt {36{a^2} + 4{a^2}} = \frac{{3a\sqrt {10} }}{5}}$ και $\boxed{DS = \frac{3}{4}AB = \frac{3}{4} \cdot 3a = \frac{{9a}}{4}}$ .

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 02, 2024 10:13 am
Η τέταρτη πλευρά.pngΣτο τετράπλευρο του σχήματος , όπου οι πράσινες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την πλευρά .

Στην συνέχεια , σχεδιάστε και υπολογίστε την διχοτόμο , της γωνίας $\widehat{BDC}$ .

Εκ κατασκευής (#4) είναι $\displaystyle \sin (E\widehat KB) = \sin \theta = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$ και ομοίως $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{{\sqrt 5 }}.$ Από νόμο ημιτόνων στο DEC:

$\displaystyle \frac{x}{{\sin (135^\circ - \theta )}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sin 45^\circ }} = 2a \Leftrightarrow x = 2a \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \theta + \sin \theta } \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{3a\sqrt{10}}{5}}$

: Η τέταρτη πλευρά.K1.png (23.26 KiB) Προβλήθηκε 316 φορές

Με θεώρημα διχοτόμου στο DBC

εύκολα βρίσκω $\displaystyle CS = \frac{{3a}}{4},BS = \frac{{5a}}{4}$ και από τον τύπο

$\displaystyle D{S^2} = DC \cdot DB - CS \cdot SB$ παίρνω $\boxed{DS=\frac{9a}{4}}$

Η τέταρτη πλευρά

Η τέταρτη πλευρά

Re: Η τέταρτη πλευρά

Re: Η τέταρτη πλευρά

Re: Η τέταρτη πλευρά

Re: Η τέταρτη πλευρά

Re: Η τέταρτη πλευρά

Μέλη σε σύνδεση